全体的に易しい。
実数解の具体値ではなく範囲を求めれば良いので、グラフの概形を調べる。
与式 = f(x) として、x = -1, 0付近におけるf(x)の傾きや正負を調べる。
解と係数の関係を用いる方法もある。αβγ < 0 より、実数解の1つまたは3つが負である。解が1つであるとすればf”(0) < 0 のはずだが、実際は f”(0) = 2a > 0 なので矛盾する。よって 実数解は全て負であり、-1 < α +β +γ < 0 より -1 < α, β, γ < 0 となる。
何れにせよ非常に易しい問題。
(1)問題文に「曲線Cがx軸に接している」と示されているので、a = 1/eを代入して実際に接しているか(十分条件)を調べる必要はない。
(2)xがtに対して単調であることなどを示さないとグラフの概形は描けない。
(1)「k, l = 1, 2, … n-1」という表現はあまり見かけないので勘違いし易いが、k = l ではなく独立に動く。
基本的な場合の数・確率の問題。
問題文の「水平に近い角度」は水平な角度とは違うので注意。水平な角度ならば文字vを使う必要はない。
棒は小球に対して棒に沿った向きにのみ力を与えれる。直感的には、そんなはずは無いだろうと感じられるが物理学ではそのように考えるのだ。
[I]では小球は壁に当たった後に上昇したが、棒が邪魔をして下降している。すなわち棒は押す向きの力積を与えているのだ。
(2)エネルギー保存則と束縛条件により、小球は衝突後に速さが逆向きになる。よってベクトルを用いて解ける。
一様でない磁場という応用的な問題だが、誘導が丁寧なので易しい。
（1）どの程度記述すればよいか分からないが、回路を貫く磁束が減少する点は必要。
[I]で定義されているIやvを用いて表して良いと問題文に書いておくべきだろう。
(1)xは変数だが、導線のx座標はL/2で一定であることに注意。
(1)落下速度が一定になるということは、終端速度になった状態での重力とローレンツ力が釣り合っているということなので、これを立式すれば良い。
(2)位置エネルギーはジュール熱に変わっている。実はこのエネルギー保存則を時間微分することによっても(1)の解は得られる。
ヤングの干渉実験がテーマ。
光路差が一般にdx/R で表されるのは基本的知識。これを導出する過程を記述する必要はないだろう。
という2点に言及すれば完璧だ。
S0の位置が変わっても変わりない事実は、明線は光路差がmλのときに生じるということ。よってAB間の光路差も考慮した式を作れば良い。
緑は赤より波長が短いので明線間隔は小さくなるが、m = 0では明線は固定されている。その位置が[III]で導いた式の定数項Rh/Lである。
気体は「体積比 = モル比」が成り立つので物質量に換算していく。
平衡の難問。平衡定数の積”K1K2“は容易に思いつくだろう。ここから、硫酸の2段階電離に着目して、「第2電離が全く起きない」と近似することで式[HSO3–] = [H+]を得る。
平衡の難問では、オーダーの違いに着目して近似することが打開策となる。
オ, キ:「赤色個体C」はCu2Oと考えられるが、駿台青本では「このような条件では得られない」としてCuを正解としている。しかしCuを赤色とするのは無理があるので、どちらを答えても正解とするべきだろう。
ク: 高校化学で習う有色の錯イオンは[Cu(NH3)4]2+だけ。他の2価金属イオンと構造が違うが、配位している水分子2個を描いてないだけ。セルロースを溶かすシュヴァイツァー試薬がこの構造を持つ。
イ.酸素原子は電気陰性度が強いので極性を持つ原因となる。したがって酢酸エチルなども極性を持つ。
エ.低級脂肪酸は水にもエーテルにも溶解する。駿台青本の解答ではなぜか酢酸エチルが使われてない。結局のところ、正解は謎だ。
オ.エステルは極性が小さいので水に溶けにくいので有機溶媒を投入する。[I]がヒントになっていた！
キ.fは計算に時間がかかるが、二量体を形成するのは容易に分かり、整数値で答えるので解だけ書いておくのもアリ。
この漸化式は、累乗の項(an-12)が存在するので典型的な解法は使えなさそうだ。累乗の項がある漸化式には対数をとるという手法があるが、それも1/n2 のせいで上手くいかない。
こういう時は、項の値を計算して性質を調べよう。すると “0 < an-1 /n < 1″が成り立つと気づく。極限と不等式と来たら挟み撃ちの原理だ。
いわゆる特性方程式を使って不動点を探ってみよう。この特性方程式の解はnを含む形になるが、分子の有理化を施したうえでn→∞とすると、解は1, ∞となる。∞は帰納法を使って不適と分かる。
そこで “bn = an -1″と置いて漸化式を書き直すと、 bn = {(bn-1 +1) /n}2 となるので b∞ = 0 が得られる。
三角関数と円の共有点という、手がかりの得にくい難問だが、問われているのが共有点の座標ではなく個数である事が大事。方程式の解の個数の問題と分かれば、2つの方程式を連立してxで微分する方法が見える。
微分法って便利だね。
非常に短い問題文であるにも関わらず発想を要するところが面白く、有名な問題だ。
対数を取った上で区分求積法に持ち込むのだが、類題の経験が無いとさすがに分からないだろう。これを思い付きさえすれば、計算は簡単。
時間内の全問解答は不可能というゲームバランスの崩壊した内容なので、難しくない問題を見抜く力が必要だ。
状態B, C, Dの状態変化を追跡するには注意深い考察が必要でかなり時間が掛かる。この中問だけで大問一つ分のボリュームがある。
H2とCOの内、それぞれの燃焼した物質量が分からないのでx, yと置くことになる。 問iで得た平衡定数で新たな状態の化学平衡の式を作るが、H2 は1.8 mol と分かっているので変化量は0.6 -y mol と分かり、これを用いて全物質の変化量を記述できる。さらに燃焼熱の式と連立する。
反応式を精確に書き出す必要があるが、未定係数法を用いる必要があり時間が掛かる。無駄に煩雑な作業を要求しているので悪問だ。
イオン化傾向が水素より小さい金属の酸化還元反応では水素は発生しない。
易しい。
(4) SO2を水に溶かすと亜硫酸、SO3を水に溶かすと硫酸となる。
反応後の物質の状態の知識は高校レベルを超えており、気液平衡についての考慮も不明なので不適切問題だ。
電離平衡を利用した問題かと思ったら、そうではない。水溶液中の陽イオンは H+だけなので、陰イオンの数に等しいことに着目すると楽だ。モル濃度を乗除ではなく加減の式で表すのが新鮮に感じる。
気液平衡のように、第二電離で生じる水素イオンの濃度をxとして、バランスシートで考えられる。
知識問題が中々マニアック。
分子式ではなく組成式なので注意。化合物の組成が質量パーセントで表されている場合は、それぞれの数値を原子量で割り、さらに元素同士で割る事で含まれる元素の比を出す。
化合物Aは問iで求めた組成式の分子量の整数倍となる。C, H, Oから成る化合物の水素の原子数は必ず偶数となる事と、化合物Fの分子量が334である事から「2倍」が正解だと見当が付く。
ベンゼン環に直接結合しているメチル基は酸化によってカルボキシ基になるが、ここではならない。EにBを作用させる反応は、無水酢酸とアルコールのように分子内脱水した部分で再びエステル化する。
化合物BとしてN, Oが二重結合を持つ化合物も考えられるが、それは問iiiでは想定されてないので解けない。よって不適切問題だ。
Ni触媒は炭化水素に水素を付加できるが、ニトロベンゼンを水素で還元してアニリンにもできる。
問題文からは難しそうに感じるが、問題をわざと複雑に見せたコケオドシだ。
条件Aを適用すると変数がaの一つだけになる。放物線同士が交点を持つか否かの判定をしていくが、二つの放物線の式を連立してg(x)として「-1≦x≦1においてg(x)≧0となるか」に落とし込むと格段にやりやすい。そしてaの値で場合分けしていく。
複素数平面。
Pは複雑な式で表されているが、角度を求めるために公式(α -z)/ (β -z)に当てはめて計算すると、45°で一定と分かる。角度が一定という事は、円周角の定理より、P, A, Bは同一円周上にあると分かる。さらに、t = 3のとき点Pは0だからこの円は原点を通る。
(1)で考察した図形的な解法のほか、絶対値を求めて微分する方法もある。
共通部分の面積は、「扇形A +扇形B -重複部分の三角形」で求めると速い。(2)で積分することになるので、三角関数を半角の公式で次数下げしよう。するとシンプルな式になる。
面倒な積分計算だが、工夫次第で手間と時間を節約できる。三角関数同士の積を見たら加法定理の逆を想定しよう。
整数と数列の融合。
(2)がやたら簡単なので(3)への布石であると分かる。「snが整数」「|βn| < 1」を確認した事で、αの数値を直接求めるのではなくsn を求めるのだと分かる。そこで(1)で得た漸化式とs1, s2, s3を用いて規則性を調べる。
確率の問題を全てクリアしないと極限の問題にたどり着けない。
そのままn→∞とすると、対数関数内が0になるので-∞/∞の不定形になる。
そこで対数関数の極限で定番の「定数の絞り出し」を行い、対数関数内が1になるようにすれば収束する。ここでは、対数関数内の各々の指数関数項の底を比べて、最も大きいものを絞り出す。
1992年度第1問でもこの手法を用いる。
随分とシンプルな問題文だ。当時の教育問題に絡んで有名な一題である。円に内接する正多角形を考察するのが自然で、正8角形や正12角形で証明できる。
最大値を求めるという問題なので、微分法が使える方針を取ろう。
xy平面上に配置して考えていく。楕円の中心を原点に置いて直角三角形を変化させるのが自然な発想だが、数学的センスのない(0, b)に置くという方針を取るのが正解。センスが良いと上手くいかないので悪問だ。
設定はよく分からないが、指示通りに計算するだけでよい。結局、最後までこの問題が意味するものはよく分からない。裏を返せば、設定の解釈は後回しにして解き進めるのが効率的という事だ。
「ぶつかる」とは即ち共有点を持つという事。難問だが、実用性が感じられて面白い。(1)ではグラフでの考察以外の解法も考えられるが、(2)を読むと周期性を考慮する必要があるので、グラフで解いていくのが出題意図と分かる。
2000番目が4桁なのはほぼ自明だが記述しよう。
2004, 2005年度は原子分野からの出題があった反動なのか、熱と波動からそれぞれ出題があった。力学は難しいが、全体的には易しい。
波動の易しい問題。〔B〕(e)ではdの値について〔A〕(c)で求めた値を使うが、問題文にその説明が無いので不適切だ。この小問を除いて満点を取るべき大問だ。
(e)は他にも問題点がある。計算方法やdの有効数字の取り方によって答えの数値が異なるが、(c)は誘導問題なのだから解答の値の流用が許されるという判断が常識的だし、dは有効数字2桁とすると切りの良い答えが得られるのでそれで減点は無いはずだ。
また、駿台の青本ではz = 120ではx, yより十分大きいと言えず(d)の近似が使えないと判断して煩雑な計算をしているが、(d)は誘導であるはずなので近似を使ってよいだろう。
熱の易しい問題。(a), (e)のPVグラフで矢印を描く必要はない。
(a)P1は、導出過程には力の釣り合いについて記述しよう。V2 では、状態変化の前後で物質量nが不変なのでボイルシャルル則を適用する。
(e)発想を要する問題。前問で得たP4を活用する方針を立てよう。直線の傾きは状態4→5においてΔP/ΔVで表せるので、これらの文字を用いて立式する。
序盤にしては中々手ごわい。答えの式も長い。
全てのαにおいて成り立つ条件を作ればよい。波動分野のほか数学でも用いる手法だが、αを含む項が常に0になる式を作る。
問題文をちゃんと読まないと”mg cos θ”と答えてしまう。この小問の問題文を読んだだけでは vQを用いる方法が分かり難いが、〔B〕全体の問題文を先に読んでおけば混乱する事は無い。
(d)がヒントになっている。R点で垂直抗力が0以上ならば十分であるように感じられるが、(d)の結果から、垂直抗力はQ点を通過した直後に最小となる。そのあとR点に至るまで徐々に垂直抗力は大きくなっていく。
これは難問。力学的エネルギー保存則で立式するのは分かるが、床の上に静止している観測者として立式しようとすると、台車が動いた距離が分からないので詰む。そこで、この大問が慣性力をテーマとしている事から台車上の観測者として慣性力をエネルギーとして考慮する。
慣性力に特有の問題の解き方として、東進のような「見かけの重力」を利用する方法があり、こちらの方が速い。
[裏技]台車の加速度が”-g/√3″という如何にも三角関数と関係していそうな値なので、30°や60°と書いておけば部分点をゲットできる可能性がある。
有機分野に難問が多い。
状態変化にはエネルギーのやり取りが必要なのは鉄則だ。温度変化はエネルギーのやり取りを引き起こすが、圧力変化は単に壁に物質が衝突する頻度が変化するだけでエネルギーのやり取りは引き起こさない。
(5)黒鉛は固体なので、圧力は”CO2 (気) +C(固)”の方が小さい。生成熱の値を、反応熱ではなく結合エネルギーから計算させるのが面白い。しかし単純計算が煩雑なので出題をもっと工夫してほしい。
シンプルな設定ながら思考力を要する良問。
鉛蓄電池は放電すると正負の両極にPbSO4が析出するのが大きな特徴。よって消費されるH2SO4と析出するPbSO4の物質量は流れた電子と等しい。
基本的に、塩なら水層、それ以外はエーテル層。ただしベンゼンスルホン酸は極性が強いので常に水層に抽出される。
アクリロニトリル・ブタジエンゴムは付加重合のポリマーなので、問Aは11.9 *53 /14 = 45、問Bは53000 *(1 -0.45)/54 = 540 という簡単な計算で解ける。
燃焼反応では、アルコール自体が酸素を含んでるので反応式から与えた酸素の物質量を定める。臭素を付加した量は飽和時のHの量との差である。
HClとエタノールとの加熱でエステル結合が起きている。さらに乾固によってアミノ基が塩酸塩になる。エステル化の触媒は濃硫酸が一般的だし乾固なんて聞いたことないのでこれらは現行課程外だろう。