解答例

• Math Station

第1問

半径1/nの円を半径1の円の周りに敷き詰めていくと、a_nとnを含む不等式を得られるので、 a_n/n を挟む形に変形することではさみうちの原理に持ち込める。

変数θは三角関数なので、三角関数の極限公式を利用する。

第2問

本年度の最難問。

(1)

証明すべきことが感覚的に正しいとは分かるが、如何に論証するかで悩む。

Aを(1, 0)に固定しても一般性を失わないので、この状態でBを動かしてみよう。そしてBがどの位置にあればLが 1, |a +b|, |a -b|になるか調べる。すると角度の範囲によって分けられると分かるので、角度θを導入する。

第3問

α = ±1のときは接線は最大で3つしか引けないことも明示しておいた方が良い。

図示するグラフは、縦横比や”Cの極値の座標”まで丁寧に描く必要はないだろう。

第4問

題意を勘違いし易いので要注意。「楕円を45°傾けたときの通過領域」と書けば分かりやすいのに、問題文は紛らわしい。当時の入試でも勘違いした解答が多かったはずだ。

問題自体は易しい。直線y = x で領域を分割すると楕円で囲まれる部分と円で囲まれる部分に分けれる。楕円で囲まれる部分の求積は、置換積分を使わず√(12 -x²)の形にして円の面積として求めれば速い。