解答例

• Math Station

第1問

この漸化式は、累乗の項(a_n-1²)が存在するので典型的な解法は使えなさそうだ。累乗の項がある漸化式には対数をとるという手法があるが、それも1/n² のせいで上手くいかない。

こういう時は、項の値を計算して性質を調べよう。すると “0 < a_n-1 /n < 1″が成り立つと気づく。極限と不等式と来たら挟み撃ちの原理だ。

別解: 不動点に着目する

いわゆる特性方程式を使って不動点を探ってみよう。この特性方程式の解はnを含む形になるが、分子の有理化を施したうえでn→∞とすると、解は1, ∞となる。∞は帰納法を使って不適と分かる。

そこで “b_n = a_n -1″と置いて漸化式を書き直すと、 b_n = {(b_n-1 +1) /n}² となるので b_∞ = 0 が得られる。

第3問

三角関数と円の共有点という、手がかりの得にくい難問だが、問われているのが共有点の座標ではなく個数である事が大事。方程式の解の個数の問題と分かれば、2つの方程式を連立してxで微分する方法が見える。

微分法って便利だね。

第5問

非常に短い問題文であるにも関わらず発想を要するところが面白く、有名な問題だ。

対数を取った上で区分求積法に持ち込むのだが、類題の経験が無いとさすがに分からないだろう。これを思い付きさえすれば、計算は簡単。