大問毎に難易度の差が大きく、第2, 4問は易しく第1, 3問は難しい。数学センスの良さが求められる辺りに東大入試の雰囲気がある。

解答例

• Math Station

第1問

漸化式と極限の問題。nが奇数と偶数の場合で振る舞いが異なるので、a_2n, a_2n-1でそれぞれの漸化式を作る必要がある。そのために、与えられた方程式を2n, 2n-1に関するものに変形し、それらを連立する。

これは方針で迷う難問で、数学的帰納法が使えそうだから小さいnで実験してみても、αが1/3に収束しそうだという予想が付くくらいで、手がかりは得られない。裏を返せば、「a_2n, a_2n-1で漸化式を作って極限を取る」という記述で部分点が得られる可能性があるということだ。

第2問

⊿ORSの面積が最大になるときの点R, Sの座標は、ほぼ直観的に分かる。この部分についてどの程度の論証が求められているかで計算量が大きく変わってくる問題だ。

計算量が増えない範囲で論証するならば、

• 点Sを固定すると、線分OSと点Rの距離が最大になる点Rの座標は常に(1, 4)である。
• Rの座標が(1, 4)ならば、線分ORと点Sの距離が最大になる点Sの座標は(-16/9, 4)である。

という二点は記述するべきだろう(Math Stationの論証は雑すぎる)。この程度の論証の精度で満点を得られるか定かでないが、更に高い精度を目指して時間を掛けるよりは、別の大問に注力する方が戦略的に正しい。

第3問

一般に、複数の動点がある問題の場合、相対運動と見做すことで変数を減らせる。物理学なら慣性力を考慮する必要が出てくるから安易に導入できないが、数学の問題ならそういう心配がない。

本問でも、Pを固定することで動点を2つに減らせる。厳しい制限時間があるから意外と気づきにくいのだが、これが最重要で、このことを示すだけで部分点が得られるはずだ。

三角形の面積公式は多種だが、頂点の座標が判明しているのでサラスの公式を使う。数値計算が煩雑だが、Math Stationみたいに綺麗に纏めなくても減点されないだろう。

第4問

(2)

0 < t≦1/2のときF(t) = (sin πt)/2tだが、分数関数の微分は面倒。要は(sin πt)/2t≧1 を満たすtを求めればよいのだから、(sin πt)≧2t と変形して図形的に考察するのが速い。1/2 < t≦1のときも同様。

解答例

• Math Station

第1問

半径1/nの円を半径1の円の周りに敷き詰めていくと、a_nとnを含む不等式を得られるので、 a_n/n を挟む形に変形することではさみうちの原理に持ち込める。

変数θは三角関数なので、三角関数の極限公式を利用する。

第2問

本年度の最難問。

(1)

証明すべきことが感覚的に正しいとは分かるが、如何に論証するかで悩む。

Aを(1, 0)に固定しても一般性を失わないので、この状態でBを動かしてみよう。そしてBがどの位置にあればLが 1, |a +b|, |a -b|になるか調べる。すると角度の範囲によって分けられると分かるので、角度θを導入する。

第3問

α = ±1のときは接線は最大で3つしか引けないことも明示しておいた方が良い。

図示するグラフは、縦横比や”Cの極値の座標”まで丁寧に描く必要はないだろう。

第4問

題意を勘違いし易いので要注意。「楕円を45°傾けたときの通過領域」と書けば分かりやすいのに、問題文は紛らわしい。当時の入試でも勘違いした解答が多かったはずだ。

問題自体は易しい。直線y = x で領域を分割すると楕円で囲まれる部分と円で囲まれる部分に分けれる。楕円で囲まれる部分の求積は、置換積分を使わず√(12 -x²)の形にして円の面積として求めれば速い。

解答例

• Math Station

第1問

(1)Math Stationの解法以外に、相加相乗平均を利用する解法もある。与式を変形して1/|m₂n₁ -m₁n₂|≦m₁ /2m₂ +m₂ /2m₁ とする。相加相乗平均により1≦(右辺)なので、(左辺)≦1を示せば良い。これを変形した不等式1≦|m₂n₁ -m₁n₂|について、(m₁, m₂)と(n₁, n₂)はいずれも互いに素だから正しい。

(2)は、nを偶奇で場合分けして極限計算するだけのとても易しい問題。(1)の方が難しい。

第2問

通過領域の典型問題。tの方程式に変形して、放物線の軸t = yを動かして実数解条件を求める。

図は大きめに描かないと、円と放物線の間の部分が細かくて図示しにくい。

第4問

F’ はcos 3θの関数で表されるが、cos 3θ のまま増減表を書くとcos 3θ = -1のときに極大であると勘違いする。θが0→π/2と動くとき、cos 3θ は1→-1→0と動くからだ。単調関数であるかの確認の重要性を気づかせてくれる。

第5問

面積は全体を積分で求めるのではなく、双曲線が関わる1≦x≦3tの部分のみ積分して残りは三角形または台形の面積公式を使った方が楽だ。

微積を用いる第4, 5問は易しい。

解答例

• Math Station
• 難関大学への数学(1)

第1問

整数の難問。昔の東工大は整数問題をよく出題していたが、これは特に難しい。もう少し誘導を付けても良かったと思う。

(2)

まずは、”素数の整数乗” = a³ +b³ = cd に気づかなれば何も始まらない。そして、様々な必要条件で絞り込んでいく。

まずは(1)で与えられている不等式を弄らずにそのまま当てはめよう。

次に”解と係数の関係”を用いるが、これは思いつきにくい。「(a, b)の組み合わせを求める」というゴールを常に意識しておけば思いつきやすいかな。

ところで、整数問題では実験が大事だ。a, bに小さい数を当てはめて実験しているうちに、解の一部である(a, b) = (2^m-1, 2^m-1)に気付ける。十分性を示すことで部分点を得られるだろう。

第2問

与えられた条件を、x, y ,z≦n/2 に変換するのがポイント。x, y, zにはこの上限が与えられているので、その範囲で数値を動かしてカウントしていく。

第3問

双曲線の接線に関する有名性質が題材。面積はサラスの公式を用いる。

解答例

• Math Station

第1問

これはペル方程式が背景となっており、与えられた条件が複素数の性質に似ている。 ペル方程式の知識が無いと取り組みにくい。

Math Stationの(2)の解答は「gⁿ ∈ G」を証明したものであって、正しい証明になっていない。

(3)は「u⁰ = 1 ∈ G」 であることを利用して数学的帰納法を用いても証明できる。

第2問

東工大らしさが感じられる問題。

(1)直方体を描いてみて、平面を想像で動かしてみよう。

(2)微分可能であるかを検証するには、t = 1, 3/2 において「関数が連続」且つ「傾きが一意」であることを調べればよい。傾きが一意であることを示すには導関数の定義を利用する必要がある。導関数f'(x)は利用できない…それはf(x)が微分可能であることが前提の関数だからだ。

第3問

これも東工大らしさが感じられる問題。

(2)微分して最大値を求める。根号を含む式の微分は面倒なので、√a = u として多項式に置き換えよう。

第4問

簡単な微分方程式の問題。対数微分法の逆の操作をする。

第5問

標準的な難易度の確率問題。A, Bどちらのルールでも期待値は等しくなるのが面白い。

全体的には易しい。

解答例

• Math Station

第1問

これは有名な問題で、スタディサプリでも題材になっている。

a₁とa₂を調べることで答えが7であると予想できる。整数や数列の問題は実験してみることが大事だ。

第3問

本年度の最難問。2つの面積の比 k が一定であることを立式した後にどう変形するかでセンスが問われる。

①式の左辺は原始関数Fを用いてF(x) -F(a)と表せる。そして右辺に含まれている”x-a”に着目して、微分係数の形に変形する。ここでx→a とするとk = 1が必要条件だと分かるので、十分性も示せば完了。f(x) = -x -2 が解であることは容易に予想できるので、その結論に議論を誘導していくわけだ。

別解

f(x)がどんな関数であっても、x→0 やa→1とした場合に明らかにk = 1しか成り立たない。ということはk = 1を満たすf(x)が唯一の解だ。よって f(x) = -x -2 である。

これは少し論証が甘いが、部分点は得られるだろう。

第5問

アステロイド曲線のような曲線で作られる領域の面積。ベータ関数に似た結果が得られる。最も難しい小問は(2)であり、(3)は(2)が解けなくてもその結果を利用して解ける。

(2)

まずyについて解いて積分する方針は(1)と同じだが、t = -x^1/m+1 と置換する。このtの式をそのまま両辺微分するとxの式が残ってうまく行かないので、xで解き直してから両辺を微分する。