「大学への数学」における各大問の難易度: B, D, C, C, C, B
2, 3, 4は発想力を要する難問。全体的に計算量も多く、かなりハードだ。出来が運に依存する要素が大きく、東大の入試問題としては質が低い。
解答例
第1問
点CがDに含まれていればいいので、Cの座標を求める。正三角形の角度と長さの性質に着目して複素数平面を用いると楽だ。
第2問
本年度の最難問。整数問題というよりは「二次関数の解の配置問題」。
方針に依って難易度が大きく変わる。変数aが含まれているので分離するのが筋が良い。
mが整数であるのでややこしく感じられるのだが、mを実数扱いして十分条件のみ示せば部分点を得られる。
第3問
(1)r2をxの関数として微分する方法があるが、この方法だと(2)を解くのが困難になる(ちょぴん先生の解法を参照)。(2)を見据えると、(1 -r)の現れる形に変形するのが筋が良い。解く前に大問全体の方向性を確認しよう。
第4問
光の反射という状況設定で、物理学的な解法を用いると格子点に関する整数問題に帰着する。この手法を知らなければかなりの発想力を要する超難問だ。数学の問題として出題するのは不適切だろう。 せめてヒントを示すべきだった。
正三角形がタイルとして敷き詰めれる図形であり且つ、タイル同士が線対称性を持つからこそ成り立つ問題だ。同じ性質を持つ正方形や正六角形で考察してみるのも面白いだろう。
第5問
求積問題。
変数はいずれも2乗の形になっているので、領域はx, y軸のそれぞれに対称だと分かる。そこでY≦X(1 -X) -aと置き換えて第一象限のみで考察すると楽だ。
本年度の中では易しい方なので完答すべき大問。
第6問
(1)a = 0のときに共通接線は3本にならないのでa≠0の条件も必要。
(2)「1／12公式」を憶えていれば圧倒的に速く答えを出せる。