2001

• Math Station
• たまばら(1)
• server-test(1)

第1問

三角関数の周期性と、正接関数が-π/2 < θ < π/2 で単調増加である性質を背景とした問題。その背景を見抜いて前述の不等式の形を作ることが必要で、それに気付かず試行錯誤しても時間の無駄となる。

第2問

この手の問題で三平方の定理を使って計算したら負けだ。(1)では直交条件をベクトルで計算する。(2)はA₀B₀とx軸が垂直なのが分かったので図形的に考察して正弦定理を使う。

2002

• Math Station
• server-test

第1問

(2)が難しい。

まず、(1)で得た等式を積分するという事に気づく必要がある。(2)の不等式で分母に”2k +1″が含まれるという事はx^2k が積分された事の痕跡だ。

更に右辺を不等式で置き換える。分数関数の積分は困難なので置き換えられるように問題が作られていることは多い。

第2問

三角関数の微分は複雑になるので置換する。

2003

• Math Station
• server-test

第1問

2004

• Math Station
• 青空学園(1)
• Mathematics Monster(2)

どちらの大問も発想力が必要。

第1問

「モンモールの問題」として有名。解法を知ってないと自力で思い付くのは難しい。

第2問

(2)

C₁とC₂を連立して対数を取ると文字が対称的な式が出来る。この対称性に着目して、xの関数とnの関数を分離するとよい。この後は「e^πとπ^eの大小比較」という有名問題と同じ解法を用いる。

(3)

(2)と同じようにxとnの関数を分離して極限を取れば、(log x) / x = 0 が必要だと分かる。

但し、対数を取る操作によりx座標の範囲が正のみに限定されてしまったので、C₂をy軸対称な図形に置き換える事が必要。ここでセンスが問われる。

2005

• Math Station
• server-test

第1問

(1)

0 < r < 1 のときのlim (n→∞) nrⁿ が0に収束することを証明するには、二項定理の「指数関数を多項式で近似できる」という性質を用いる。n²rⁿは項数を増やして近似の精度を上げればよい。

これは知っていないと思いつかないだろう。(2)より正解率は低そう。

(2)

(1)では”0 < r < 1″の条件が与えられているので紛らわしいが、rの値で場合分けが必要。

第2問

(1)

多変数関数の最小値を求める問題なので、平方完成や加法定理を用いて最小値となる条件を求める。

まともに論証しようとすると大変だが、AとBの半径が等しいときに面積最小となるのは容易に予想が付く。なので答えだけでも書いておこう。

(2)

微分をしたら沼に嵌る。分母と分子のどちらかを定数にするテクニックを使おう。

1990

後期日程が初めて施行されたのがこの年度だが、どちらの問題も欠陥がある。

解答例

• Math Station

第1問

まず、「負数の四捨五入」の定義で迷うが、コンセンサスと言えるものはないので欠陥のある問題という事になる。

四捨五入はガウス記号(床関数)の振舞いとは異なるが、ガウス記号と同じように不等式を使って論証できる。それ以外の方法としてグラフを使った論証も可能。

第2問

チェビシェフ多項式がテーマの超難問。類題の経験が無いと歯が立たない。

(1)から論証が大変だ。P_k(x)とQ_k(x)はそれぞれ、nが増えるごとに符号が入れ替わる。それを示す事でP_k+1(x)にはk次、Q_k+1(x)にはk+1次の項があると示せるのだが、二つの数学的帰納法を並行して論証するので複雑なのだ。

(2)は問題文に欠陥があり、「P_n(x)は(1)の与式を満たす」という説明が必要だった。その説明があったとしても、「与式の解はx = sin²(kπ/2n)である」という事に着目して(1)の式を利用する必要があるので難しい。

(3)次は「与式= “(2)の与式の展開式におけるxの係数” ×(-1)」である事を見抜く。更に「チェビシェフ多項式がテーマなら漸化式を作ってみる」という知識が必要。

1991

解答例

• Math Station
• server-test

第2問

答えがπ /6になるのは予想できる。どこを詳しく論証してやれば良いのか迷う問題だ。

東工大だし出題者は微分を使って論証させたいのだろうが、微分を使わなくても説得力のある論証はできる。微分を使わなかった場合にどの程度の得点になるか分からないので、使うのが望ましい。

微分を用いるならば、Pを動かしたときのθの変化を調べたいので、x軸とOPとの角度αを設定して、内積の定義を用いてcos θの関数を作る。

1992

解答例

• Math Station
• server-test(1)
• Mathematics Monster(2)

第2問

Mathematics Monsterでは行列を用いて説明されているが、複素数平面で複素数列の問題としても解ける。

1993

解答例

• Math Station
• server-test

第1問

空間上斜軸の回転体の体積を求める。問題内容はシンプルだが、方針建てを全てやり、空間認識も必要なので難しい。

立方体をxyz座標系に置き、回転軸を新たな座標軸wとして考え、w軸上の点P(t, t, t)を設定する。このときw = √3・tである。

回転体の半径がwによって刻々と変わるので、”w軸に垂直な平面αと立方体の辺の交点Q”を設定し、PQの関数を求める。αの方程式は、w軸がベクトル(1, 1, 1)で表せてαが(t, t, t)を通るから、1・(x -t) +1・(y -t) +1・(z -t) = 0となる。

半径を求めたら積分するが、半径がxyz座標系で記述されているのに対して回転軸はw軸なのでスケールが異なる。よってw = √3・t で置換積分する。

1994

解答例

• Math Station
• server-test
• Mathematics Monster(第2問)

第1問

関数方程式の問題。

f(x)が連続という事はF(x)が常に微分可能である事を示しているが、F(x)は絶対値を含む項を持つので、aやbが取り得る値が限定される。

絶対値と来たら場合分けだ。F(x)は絶対値を含む事からx≧bとx≦bで別の関数が得られる。f(x)が連続なのだからF'(b)はどちらも同じ値になる必要がある。

後は(ii)と(iii)を使って定数を確定させる。(ii)はx = 1における情報だから、x≧0の場合の関数にしか代入できないので注意。

第2問

数学的帰納法で示せるが、一筋縄ではいかない様になっている。その解法はMathematics Monsterで紹介されている。nが小さい場合で実験してみると、(2 -√3)ⁿ = √(a_n²) -√(3b_n²) となることに気付く。そこで全てのnについて a_n² -3b_n² = 1を満たす a_n, b_nが存在する事を示す。

別の解法として、式の形から共役無理数の積を思い付ければ筋が良い。Math Station のように二項定理を使う事で (2 -√3)ⁿ = √(a_n²) -√(3b_n²) が示せるが、ここまで辿り着くのも大変なので数学的帰納法が楽だ。

1995

解答例

• Math Station
• server-test

第1問

空間認識が必要なので題意が把握しにくいが、理解すれば簡単。

第2問

準円とパップスギュルダン定理を既知とする事で、この大問は全ての小問を合わせて3分で答えを出す事が可能だが、それでは方程式や微積の扱い方を測れないので、半分以下の点数になるだろう。

(1)

楕円の準円の方程式を求める。これにはお決まりの解法があり、接線の傾きをmとして楕円と連立してmの二次方程式を作り、二つの解の積が-1となる事と”解と係数の関係”を利用してエレガントに解く。

前期1990、2002年度でも登場している。Pの軌跡が準円となることを既知とすれば瞬殺できる。

(2)

前期2011年度が類題。

[円の回転体] -[楕円の回転体]として体積を求めるが、「∫π(2a +x)²dy -∫π(2a -x)²dy 」という風に回転体の空洞部を除く。その後は積分関数が円や楕円の面積に等しい事を示せば積分計算する必要がない…これはパップスギュルダン定理と実質的に同じことをしているが確実に得点する為のテクニックだ。

解答例

• Math Station
• ちょぴん

第4問を除けば簡単なので全体的には簡単な年度だった。

第1問

「比がkによらない」とは「全てのkについて比が一定となる」という意味。

kとq, そしてkとbの値の大小によっては面積が負になることもあるので絶対値を付けておいた方が良い。

第2問

(2)三角関数にnが含まれるので、積分漸化式を想定しよう。解がπ /2と分かっているのが強力なヒントであり、解がnによらない事が分かる。つまり、与式をI_nとおくと、I_n = I_n-1なのが読み取れるのでこれを示せばよい。

第3問

珍しく小問が4つもある。小問一つ一つは難しくないが、全体として計算量は多いので精確さと効率性が試される。

(1)4次の解と係数の関係「α +β +γ +δ = −b /a」と「αβγδ = e /a」を使えば瞬殺。

(2)Pが変曲点ある場合にPはQやRと一致するから、与式を二階微分して範囲を求めるのが速い。しかしこれは裏技的なので、α < t < βと必要十分となる不等式(t -α)(t -β) < 0を解くのが王道。

(3)L²を整理していく。”β -α”は根号を持つので、後の事を考えるとこれが出てこない形に整理したい。α = βのときはL = 0となるから、(β -α)² で因数分解できるはずだ。

(4)あとはtで微分するだけだが、少し工夫する。L²はよく見るとt²の多項式であり、(t² -a)² の微分が面倒くさそうなので、s = t² -a としよう。

第4問

整数の難問として有名な問題。配点が30点と小さかったのもあってか、正解率は非常に低かった。2008年度のAOでも再び出題されたことでも話題になった。

最高次数項の係数が等しいn次の多項式同士の差は(高々)n -1次多項式となるのを利用して帰納法で証明する。発想としては自然なので、世間で言われているほどの難問ではない。

数学的帰納法を使う事を宣言すれば1/3の点数が与えられたという噂がある。n = 1の場合に成立する事も示しておこう。

解答例

• Math Station
• ちょぴん

どれも難易度の高い問題だった。

第1問

(1)点Pの座標(a, b)を用いてQの座標(X, Y)を記述する。そしてa, bの不等式に代入する事でQの範囲が分かる、というのが大まかな流れ。

(2)では、不等式の条件はもはや無関係。面積については三角形の頂点の座標が分かっているのでサラスの公式を使おう。Y≧X²では二本の接線を引けないので、Y < X²が必要条件。

第2問

外サイクロイド曲線がテーマ。2016年度第5問も外サイクロイドだ。

(1)イメージし易くする為に軌跡をを描いてみよう。y座標が2つあるという見落としも防げる。三倍角の公式を憶えていると速い。

(2)曲線の長さの公式を使う。sin θ sin 3θ +cos θ cos 3θ = cos 2θに気付きたい。途中計算の量は多いが、最後はシンプルな積分になる。

第3問

(1)とりあえず関数に0を代入してみて性質を探る。全てのxについて微分可能である事を示すためには、導関数を計算して全てのxについて解を持つ事を示せばよい。

(2)は微分方程式の問題。(1)で用いた導関数を使うが、f(x)を積分しても無意味なので変形して積分すると、対数関数を作れる。

第4問

短い問題文だが難しい。これを誘導なしで解かせるのはいかにも東工大らしい。解法は主に2つあり、Math Stationに両方載っている。

解法1

極限がある事と、「次第に大きくなる山が並んでいる」というグラフの概形から、挟み撃ちの原理が有効と分かる。難しいのは何で挟むかだが、

• 被積分関数のx²があるせいで積分計算が大変
• 少し大きい山と少し小さい山で挟むとn→∞では面積が一致する
• 一つの山毎に分割すると絶対値を外せる

という事からx² を定数化して少し大きい山と少し小さい山で挟む。

とりあえずグラフを描いてみればこの方針が思い付ける。

解法2

素直に絶対値を外して積分する。t = nxと置換するなど工夫はしてもやはり計算量が多くなる。

解答例

• Math Station
• ちょぴん

第1, 3, 4問は誘導の作り方が下手である。

第1問

aを含む不等式を等式(直線)としたものをLとする。aが変数なのでaの値によって場合分けが必要だ。

Lは定点(3, 2)を通るのだが、それに気付くはaに様々な値を代入して挙動を考察するのが良いだろう。 これをヒント無しで導かせるのは不親切であり質の低い問題だ。

後はLの傾きを変えながら最大値を探す線形計画法だ。

第2問

(1)xの上限がa /2であるのは明らか。それでは下限を決定づけるのはどの円か？それぞれ計算する前に、図で示せば時短になる。

(2)面積の和で関数を作るが、√x = t と置き換えると計算が楽。x = √b /2で最小値となるのは予想できるので答えだけでも書いておこう。

第3問

(1)fとf_n が紛らわしいので f_n は g_n とすべきだった。f = f_n とは限らないから、 f₀(t) = (2t -1) /t = t とはならないので注意。「全ての自然数nについて」に着目して、数学的帰納法で f_n を証明する。それによって分母が0でなければ常に成立すると示せる。

(2)単純な積分と極限の計算。a = 1のときを場合分けする点に注意するだけで、(1)より簡単だ。

第4問

(1)三平方の定理や余弦定理を使うと計算が複雑になるので、角度を活かした解法を使おう。楕円を媒介変数表示すれば角度で表せる。 角度が等しいという条件を活かして、幾何的に考察して相似形を見つけ出すのが筋が良い。

(2)基本的な極限計算で(1)より簡単だ。

解答例

• Math Station
• ちょぴん

第1問

与式をf(x)とおく。xが取り得る値は実数なので整数問題というより方程式の問題だが、色々実験してみるといずれ答えに辿り着くようにはなっているのは整数問題っぽい。

まずk = 0の場合を調べてみると、f(2) = 0となるので不適と分かる。Math Stationでは「f(x) = 1 となるxは存在しないので不適」としているが、f(x)が1となるxを必ず持っている必要はないので、題意を誤って解釈しているのではないか？

分母の値が何であれ、分子 = 0となる場合は不適だ。0≦k≦1ならばその条件になり得るのでこの範囲が除外される。この事を記述しているだけでも部分点が得られるだろう。

k > 1の範囲では分母は0にならないのでf(x)が全区間で連続関数であるという性質も重要。f(0) = 1であり、f(x) > 2, f(x) < 0 となるxがあるならば平均値の定理よりf(x) = 整数となるxが存在するという事なので、0 < f(x) < 2 が必要十分条件であると分かる。

ちなみに、分母と分子の多項式が「平方完成してみろ」と言っているような形なのでやってみると、k > 1ならばf(x) > 0と分かる。

誘導が無いので方向性が見えにくく、難しくなっている。 f(x)の分子の次数下げは自然な発想だが答えに辿り着かないので、誘導を付けた方が良い問題だった。

第4問

f_n(x)は数学的帰納法で示せる。

文字だらけで把握しにくいが、kやmが小さい場合で実験すれば答えを予想できる。常にm≦nだが、n→∞である一方でmは有限値とする。極限値が0になる珍しい問題。極限の考え方そのものを問うたからこんな答えもアリだったのだろう。

第5問

(1) I_n とI_n-1を和積公式を使って纏めれば”2x cos (2nx -2x)”の積分計算に持ち込める。しかしI_n+1 -I_n を計算した方が、和積公式を使わないし”x cos 2nx”の積分計算なので楽だ。