解答例
第1問
与式をf(x)とおく。xが取り得る値は実数なので整数問題というより方程式の問題だが、色々実験してみるといずれ答えに辿り着くようにはなっているのは整数問題っぽい。
まずk = 0の場合を調べてみると、f(2) = 0となるので不適と分かる。Math Stationでは「f(x) = 1 となるxは存在しないので不適」としているが、f(x)が1となるxを必ず持っている必要はないので、題意を誤って解釈しているのではないか？
分母の値が何であれ、分子 = 0となる場合は不適だ。0≦k≦1ならばその条件になり得るのでこの範囲が除外される。この事を記述しているだけでも部分点が得られるだろう。
k > 1の範囲では分母は0にならないのでf(x)が全区間で連続関数であるという性質も重要。f(0) = 1であり、f(x) > 2, f(x) < 0 となるxがあるならば平均値の定理よりf(x) = 整数となるxが存在するという事なので、0 < f(x) < 2 が必要十分条件であると分かる。
ちなみに、分母と分子の多項式が「平方完成してみろ」と言っているような形なのでやってみると、k > 1ならばf(x) > 0と分かる。
誘導が無いので方向性が見えにくく、難しくなっている。 f(x)の分子の次数下げは自然な発想だが答えに辿り着かないので、誘導を付けた方が良い問題だった。
第4問
fn(x)は数学的帰納法で示せる。
文字だらけで把握しにくいが、kやmが小さい場合で実験すれば答えを予想できる。常にm≦nだが、n→∞である一方でmは有限値とする。極限値が0になる珍しい問題。極限の考え方そのものを問うたからこんな答えもアリだったのだろう。
第5問
(1) In とIn-1を和積公式を使って纏めれば”2x cos (2nx -2x)”の積分計算に持ち込める。しかしIn+1 -In を計算した方が、和積公式を使わないし”x cos 2nx”の積分計算なので楽だ。