解答例
どれも難易度の高い問題だった。
第1問
(1)点Pの座標(a, b)を用いてQの座標(X, Y)を記述する。そしてa, bの不等式に代入する事でQの範囲が分かる、というのが大まかな流れ。
(2)では、不等式の条件はもはや無関係。面積については三角形の頂点の座標が分かっているのでサラスの公式を使おう。Y≧X2では二本の接線を引けないので、Y < X2が必要条件。
第2問
外サイクロイド曲線がテーマ。2016年度第5問も外サイクロイドだ。
(1)イメージし易くする為に軌跡をを描いてみよう。y座標が2つあるという見落としも防げる。三倍角の公式を憶えていると速い。
(2)曲線の長さの公式を使う。sin θ sin 3θ +cos θ cos 3θ = cos 2θに気付きたい。途中計算の量は多いが、最後はシンプルな積分になる。
第3問
(1)とりあえず関数に0を代入してみて性質を探る。全てのxについて微分可能である事を示すためには、導関数を計算して全てのxについて解を持つ事を示せばよい。
(2)は微分方程式の問題。(1)で用いた導関数を使うが、f(x)を積分しても無意味なので変形して積分すると、対数関数を作れる。
第4問
短い問題文だが難しい。これを誘導なしで解かせるのはいかにも東工大らしい。解法は主に2つあり、Math Stationに両方載っている。
解法1
極限がある事と、「次第に大きくなる山が並んでいる」というグラフの概形から、挟み撃ちの原理が有効と分かる。難しいのは何で挟むかだが、
- 被積分関数のx2があるせいで積分計算が大変
- 少し大きい山と少し小さい山で挟むとn→∞では面積が一致する
- 一つの山毎に分割すると絶対値を外せる
という事からx2 を定数化して少し大きい山と少し小さい山で挟む。
とりあえずグラフを描いてみればこの方針が思い付ける。
解法2
素直に絶対値を外して積分する。t = nxと置換するなど工夫はしてもやはり計算量が多くなる。