「大学への数学」における各大問の難易度: B, D, C, C, C, B

2, 3, 4は発想力を要する難問。全体的に計算量も多く、かなりハードだ。出来が運に依存する要素が大きく、東大の入試問題としては質が低い。

解答例

• ちょぴん先生
• PRIVATE EYES

第1問

点CがDに含まれていればいいので、Cの座標を求める。正三角形の角度と長さの性質に着目して複素数平面を用いると楽だ。

第2問

本年度の最難問。整数問題というよりは「二次関数の解の配置問題」。

方針に依って難易度が大きく変わる。変数aが含まれているので分離するのが筋が良い。

mが整数であるのでややこしく感じられるのだが、mを実数扱いして十分条件のみ示せば部分点を得られる。

第3問

(1)r²をxの関数として微分する方法があるが、この方法だと(2)を解くのが困難になる(ちょぴん先生の解法を参照)。(2)を見据えると、(1 -r)の現れる形に変形するのが筋が良い。解く前に大問全体の方向性を確認しよう。

第4問

光の反射という状況設定で、物理学的な解法を用いると格子点に関する整数問題に帰着する。この手法を知らなければかなりの発想力を要する超難問だ。数学の問題として出題するのは不適切だろう。 せめてヒントを示すべきだった。

正三角形がタイルとして敷き詰めれる図形であり且つ、タイル同士が線対称性を持つからこそ成り立つ問題だ。同じ性質を持つ正方形や正六角形で考察してみるのも面白いだろう。

第5問

求積問題。

変数はいずれも2乗の形になっているので、領域はx, y軸のそれぞれに対称だと分かる。そこでY≦X(1 -X) -aと置き換えて第一象限のみで考察すると楽だ。

本年度の中では易しい方なので完答すべき大問。

第6問

(1)a = 0のときに共通接線は3本にならないのでa≠0の条件も必要。

(2)「1／12公式」を憶えていれば圧倒的に速く答えを出せる。

「大学への数学」における各大問の難易度: B, C, D, C, B, C

解答例

• ちょぴん先生
• PRIVATE EYES

第2問

文字がたくさん登場しているので難しそうだが、こういうのは「意外と簡単に解けるものだ」と心得て、躊躇いなく式変形を進めていくのがコツだ。

まず問題の意味を整理しよう。P「題意の正数s, tが存在する」⇒Q「題意の範囲に2実数解が存在する」を示す。

2次方程式にはs, tが含まれていないので、与えられた不等式に含まれるs, tを消去していこう。

第3問

十分な空間認識能力がある人にとっては最も易しい大問だが、無い人にとっては難問になる。

空間図形の問題なので、解答に於いて図を用いた論証は困難だから、簡素な説明でも減点はないだろう。

(1)

答えは直感的に分かるのでどう論証するかが焦点になる。最も楽だと思われる証明を以下に記す。

xyz空間に、立方体を各辺が座標軸に平行になるように置く。対称性に注目すると、立方体の1頂点がSのx≧0, y≧0, z≧0の部分の全ての点から見えれば十分。(0, 0, r)から頂点が見えるにはl≧2rが必要であり、この時に十分条件も満たしているので証明完了。

第4問

期待値や確率変数を扱う数列・極限の問題。題意の把握が難しい。

(1)「a_nの期待値」とは、a_n が取りうる値は1～6なのでそれらに確率の重みを付けて足したものだ。

(2)確率変数や「期待値の和」について理解しておく必要がある。

第6問

(1)図形的に考察して、Dの円周とCが接する又は共有点を持たない場合を考えるのが分かりやすいが、曲線同士が共有点を持つ条件は見た目以上に複雑だ。

第5問が面白い。

「大学への数学」における各大問の難易度: B, B, C, C, C, C

解答例

• PRIVATE EYES

第3問

空間認識能力を要する東大らしい求積問題だが、易しい。

問題文を読んだだけでは四面体の概形を想像することは難しいので、Q, Rの座標を求めてみよう。PとQはx軸を含む平面について対称だから、x軸に垂直な平面上で考える。RはQの座標のxとyを入れ替えるだけ。

すると四面体は平面x = yに対称だと分かるから、この平面で切断して合同な三角錐に分けて体積を求める。

第5問

これは期待値に関する発想力を要する難問だが、非常に面白い問題。

抽象的で取っつきにくいが、p_nは何とか解きたいところ。一見すると如何にも難しそうだが、実験してみると案外単純だと分かる。確率や数列の問題は実験が大事なのだ。解法が分からなくても、数列の問題だから「数学的帰納法で示す」くらいは書いておこう。

p₀を求める方法には意表を突かれる。更に期待値が1になるのも面白い。

第6問

意外と発想力が必要となる求積の難問。

(1)(2)で積分する為の誘導だから、z = 0の場合だけでなくz = tで一般化して立式しよう。空洞部分の面積を求めるのが難しく、分かったとしても計算が非常に煩雑になるので、この面積の部分だけSとでもおいて答えを書いておいても4点くらいは貰えるだろう。

(2)断面積の関数が求められなくても、これをS(t)とおいて体積を求める式を書けば2点は貰えるだろう。

「大学への数学」における各大問の難易度: B,C,B,B,C,C

解答例

• PRIVATE EYES

第2問

(i)存在範囲の図示

単に「図示せよ」ではなく「概形を図示せよ」と指示されているのがポイント。これはa, bの関数のままで図示するのが困難なことを示唆しており、tの媒介変数表示で概形を示せば良い。

(ii)接点以外に共有点を持たない時の値

実は(i)が解けなくても簡単に解ける問題だ。

Cとy = 1/x を連立して三次方程式を作ると、「重解以外の解を持たない」という条件が必要になるので三重解を持つと分かる。そこで(x -1)³ = 0 と係数比較する。

第3問

A(X,0, 0), B(0, Y, 0), C(0, 0, Z)とし、「Kは球」と「KとLは接する」という情報を数式化する。△ABCの面積を求めるので、X, Y, Zをa, b, cで表す。

△ABCの面積を求めるには四平方の定理を使うと楽。

第4問

線分上の点は内分点として計算すると楽。

第5問

数学的帰納法を用いることは容易に分かるので、n = 2の場合のみでも証明しておこう。

「大学への数学」における各大問の難易度: B,B,C,C,C,C

大問が易しい順に並んでいる。

解答例

• 河合塾
• 駿台
• 東進
• ちょぴん先生
• KATSUYA
• PRIVATE EYES

分析

• 東進
• Z会
• 河合塾

第3問

東進等は難問扱いしているが、空間図形に慣れていれば難しくない。点差がつき易く、合否を分ける問題だ。

(1, 2)

(1)八面体と平面αがどれかを明示しておかないのは減点対象。pの値によって場合分けして図示する必要があるようだが、それならば問題文に明記すべきだ。

(2)△PBC, △PDCの内部をαが通る時に八角形となる。

これらの小問は、(3)を解かせる為の準備に過ぎないので、詳しい記述は必要ないだろう。その代わり、(1)ではpの値で場合分けするといった「忖度」が必要だ。大問が小問に分かれている場合は、(1)だけ読んで解き始めるのではなく、全ての小問を読んで流れを把握するのを習慣づけよう。

(3)

求めるのはpを動かした時の通過領域の面積ではない。ここではpは定数扱いされている。

「座標平面」という表現で困惑するが、要するにyz平面上に切り口の部分を正射影するという意味だ。八面体の辺PB, PCと平面αの交点の座標を求めることになるが、正射影するにはそれらのx座標の情報を無視するだけで良い。

第4問

(1)実験すれば偶奇で分けて調べる方針が建つ。

(2)整数は累乗することで剰余の種類が減るという性質を利用する。

第5問

有理関数と三角関数を含む方程式を扱うが、当然ながら解を得ることは出来ない。こういう場合は図形的な大小関係の考察が重要になる。

(1)

証明問題なので、グラフを描いて示すだけでは不十分。単調性とグラフの位置関係を説明しよう。

(3)

aは何はともあれ、グラフを考察しよう。

cは、極限を取ると(p -p)/(q -q)となる不定形なので微分係数の定義式を使う。a, bが解けなければ「微分係数の定義式を使う」と記述しておこう。

第6問

面倒臭すぎる複素数平面。

(1)

条件2を元に、実数係数の方程式は共役複素数解を持つという性質を利用する。そして条件3を元に、解のパターンを絞り込む。

(3)

図示をするので、x + yiの形を作る為に、αとβの解を求める。

本年度の問題は、図形問題が多く、小問が一つもないのが特徴。

「大学への数学」における各大問の難易度: B, C, B, B, B, C

解答例

• PRIVATE EYES

第2問

2進法の考え方を利用するという発想は出し易いだろう。これを厳密に証明する為に数学的帰納法を用いる。

第3問

ご丁寧にも、図形と方針を建てやすい座標系が図示されている。このお陰で難易度はかなり下がっていると思われる。

図形的に考察すれば、C円周上の任意の点をP、l上の点をQとすると、AQ ⊥ PQ だと分かるので、ベクトルを導入するのが筋が良い。

第5問

VとSの接点を含む面の断面で考察する。 図形的に考察して相似を利用すると楽。

変数をどう設定するかが鍵となる。最大値を求める問題なので微分をすることになると予想できる。角度θを導入すると、三角関数を含む分数関数を微分することになるだろうが、この場合はかなり煩雑な計算になると予想できるので避けるのが筋が良い。後から有理式に置換することも出来はするが、三角関数は式変形などで記述に時間がかかるのでやはり不利だ。

球の表面積の公式を憶えていないと困る。実はその公式を求めるのは簡単で、球の表面を玉葱の皮に見立てて、体積の公式を半径rで微分するだけ!(円周も円の面積をrで微分すると得られる)

第6問

本年度の最難問。傾斜軸を用いた求積問題。空間認識能力に加えて、そもそも傾斜軸を使うと思いつく必要があるので発想力も要する。本問は大学入試における斜回転体の求積問題の先駆けと言われている。

まず断面積を求める必要があるが、曲面Kの方程式を作り、平面H (y = x +t)を連立すれば簡単。

実は座標軸に垂直な平面での求積も可能。但し、y軸に垂直な平面では円の一部の面積を求める必要があり、うまく行かない。その他は放物線で囲まれる面積を求めるので容易。

小問が17個もある。

「大学への数学」における各大問の難易度: B,B,C,C,C,C

解答例

• ちょぴん先生
• PRIVATE EYES

第1問

直角が含まれる空間図形の問題の解法では、ベクトルが有利。面積公式として「ab sinθ」を使おうとすると、煩雑な2乗の計算が現れるので好ましくない。

四角柱がABCD-EFGHではなくOABC-DEFGと、座標系の導入を示唆しているのが大きなヒント。また、この大問では一貫してtanを用いて表していくという特徴から、図形の中でtanが現れる部分を探すと、AP, CRが見つかり、ここからもベクトルの利用が好ましいと判断できる。問題の性質を吟味するのが大事なのだ。

第3問

(2)

与式は対称性の高い形をしているので、解と係数の関係を利用しよう。

第4問

(2)

「解けない漸化式の極限」問題。極限値は0だから、x_n = rx_n-1 の形に持ち込む為に、与えられた不等式1 +x≦e^xを 1 -qx_n-1≦e^-qx_n-1 とするが、これが難しい。ヒントとなるのがp > qという条件で、これを利用するにはpとqが同次の項の係数であることが必要だ。

発想力が必要な難問。方針だけでも書いておこう。

(3)

中間値の定理に関する問題。(2)より易しいので、(2)が解けなくても解いておこう。

第5問

(2)

(1)が解けなくても解けるボーナス問題。証明問題の次の小問は必ず目を通そう。

(3)

「0≦剰余 < 法」という性質を利用する。

「大学への数学」における各大問の難易度: C,B,C, B,C,C

解答例

• PRIVATE EYES

第1問

東大らしい求積の良問。

(i)

求めたいのはSの輪郭の方程式だから、この曲線上の点を(X, Y)として、点Pとの関係からベクトル方程式を建てよう。そしてその直線がCの円周上を通るという条件を与える。

ちなみにCの円周上の点を(X, Y)と置いてしまうと、結局はX, Yを消去する必要があるので、答えを出せなくもないが厄介な計算になる。目的地を意識して方程式を建てるのが大事だ。

(ii)

空間認識能力が要求される。

(i)が解ければSは円だと分かるので(ii)が解けるのだが、(i)が解けなくてもSの面積をTとでも置いて答えを出しておこう。

第2問

(i)は図形的に考察すれば、f(t) → 0, g(t) → -∞となるのは明らかなので簡単。

(ii)も直観的に1に収束しそうだと感じられる。

第5問

実験をしていく内に状況を把握できるので難解ではないが、P_n(3)は計算が煩雑。

P = 0, 1やn = 1の場合分けも生じる。しかし気付かなくても大した減点にはならないし、細かい事に調子を狂わされるよりは計算を進めていく方が良い。

第6問

各放物線の共有点の個数を考察することで、解の配置の問題に落とし込める。

「D ∩ E ∩ U = ∅」を表すのが難しいところ。部分点狙いで「D ∩ U ≠ ∅, E ∩ U ≠ ∅」だけ図示するという手もある。

1,3,4は易しいが2,5,6は難しい。難易度が明確に分かれている。

「大学への数学」における各大問の難易度: B,C,B,B,C,C

解答例

• ちょぴん先生
• PRIVATE EYES

第2問

発想力を要する確率漸化式の難問。正しい方針さえ建てれば計算は楽だ。

(1)

n番目以降の文字が何であろうと、n番目の文字がAである確率には影響しないので、n番目までの推移に注目すれば良いと分かる。よって漸化式を作るという計画が建つ。

しかしこのままでは、AAが現れる度に、回数と文字の位置がズレてしまい立式しにくい。そこで、(2)の問題文をヒントにして、AAに於ける前後のAを区別しよう。

第4問

(3)

数学的帰納法を使うのが楽。q_nはフィボナッチ数列で、三項間漸化式を解いて一般項を得られる。

第5問

発想力が必要な整数問題の難問。

第6問

ベクトルや相似の手法の運用を試される。方針は建て易いが計算量が非常に多い。(2)と(3)は方針だけ書いて逃げるのもアリだ。

(2)

(1)とよく似た式が与えられているので、それとよく見比べると、h(x)はg(x)の微分刑だと分かる。ただし発想力も必要とされるので、分からないなら「(1)の与式を使って不等式を作り、はさみうちの原理で求める」とだけでも書いておこう。

解答例

• PRIVATE EYES

第1問

1980年度第6問が類題。

AとBを同時に固定してCを動かすと、ACまたはBCがxy = 1の接線になる事から求める方法もある。

第2問

楕円の面積を扱う問題では、円に変換するのが定番だ。

与えられたcos (π/12)の値は、一見すると何に使うのか不明だ。しかしπ/12という情報から、15°刻みの角度が関わってくるのは予想できる。こういう値は計算を進めていけば自然と現れるので、最初に弄り回すのは時間の無駄だ。

第3問

空間認識能力が必要な問題。

(2)

nが単位ベクトルであることと、nとDEの内積が一定であるという条件からyとzの関係式を得られる。求めるのは|y|の範囲ではなく、最大・最小値だから、実数解条件を調べるまでもない。最小値についてはy = 0で成り立つかを調べ、最大値についてはz = 0での値を調べれば完了。

第4問

(1)

a, b, cは独立に動くが、u, vはお互いにaを含んでいるので、独立ではない。

P(u, v)の範囲を求めるという事は、uとｖが同時に値を持つ組み合わせを調べるという事だから、uとvの関係式を作る方法がある。

(2)

(1)の誘導を使わずに、2次方程式の解を求めて、zを最大にするa, b, cの値を代入する方が楽。

第5問

場合分けが煩雑な、確率の難問。

(1, 2)じゃんけんはゲームの勝敗を決める為に行うのだから、勝敗が決まればそれ以降はじゃんけんは行わない。つまり、(1)n < kのときはp = 0, (2)x +y > nのときはp(x, y) = 0となる。これだけ記述して逃げるのも手だ。

(3)この小問が最も易しく、(1)や(2)は誘導になっていない。

第6問

bを求めるのが難しい。(2)では、bが分からなくてもbのままで計算を進めていこう。