「大学への数学」における各大問の難易度: B,C,B,B,C,C
解答例
第2問
(i)存在範囲の図示
単に「図示せよ」ではなく「概形を図示せよ」と指示されているのがポイント。これはa, bの関数のままで図示するのが困難なことを示唆しており、tの媒介変数表示で概形を示せば良い。
(ii)接点以外に共有点を持たない時の値
実は(i)が解けなくても簡単に解ける問題だ。
Cとy = 1/x を連立して三次方程式を作ると、「重解以外の解を持たない」という条件が必要になるので三重解を持つと分かる。そこで(x -1)3 = 0 と係数比較する。
第3問
A(X,0, 0), B(0, Y, 0), C(0, 0, Z)とし、「Kは球」と「KとLは接する」という情報を数式化する。△ABCの面積を求めるので、X, Y, Zをa, b, cで表す。
△ABCの面積を求めるには四平方の定理を使うと楽。
第4問
線分上の点は内分点として計算すると楽。
第5問
数学的帰納法を用いることは容易に分かるので、n = 2の場合のみでも証明しておこう。