大問毎に難易度の差が大きく、第2, 4問は易しく第1, 3問は難しい。数学センスの良さが求められる辺りに東大入試の雰囲気がある。
解答例
第1問
漸化式と極限の問題。nが奇数と偶数の場合で振る舞いが異なるので、a2n, a2n-1でそれぞれの漸化式を作る必要がある。そのために、与えられた方程式を2n, 2n-1に関するものに変形し、それらを連立する。
これは方針で迷う難問で、数学的帰納法が使えそうだから小さいnで実験してみても、αが1/3に収束しそうだという予想が付くくらいで、手がかりは得られない。裏を返せば、「a2n, a2n-1で漸化式を作って極限を取る」という記述で部分点が得られる可能性があるということだ。
第2問
⊿ORSの面積が最大になるときの点R, Sの座標は、ほぼ直観的に分かる。この部分についてどの程度の論証が求められているかで計算量が大きく変わってくる問題だ。
計算量が増えない範囲で論証するならば、
- 点Sを固定すると、線分OSと点Rの距離が最大になる点Rの座標は常に(1, 4)である。
- Rの座標が(1, 4)ならば、線分ORと点Sの距離が最大になる点Sの座標は(-16/9, 4)である。
という二点は記述するべきだろう(Math Stationの論証は雑すぎる)。この程度の論証の精度で満点を得られるか定かでないが、更に高い精度を目指して時間を掛けるよりは、別の大問に注力する方が戦略的に正しい。
第3問
一般に、複数の動点がある問題の場合、相対運動と見做すことで変数を減らせる。物理学なら慣性力を考慮する必要が出てくるから安易に導入できないが、数学の問題ならそういう心配がない。
本問でも、Pを固定することで動点を2つに減らせる。厳しい制限時間があるから意外と気づきにくいのだが、これが最重要で、このことを示すだけで部分点が得られるはずだ。
三角形の面積公式は多種だが、頂点の座標が判明しているのでサラスの公式を使う。数値計算が煩雑だが、Math Stationみたいに綺麗に纏めなくても減点されないだろう。
第4問
(2)
0 < t≦1/2のときF(t) = (sin πt)/2tだが、分数関数の微分は面倒。要は(sin πt)/2t≧1 を満たすtを求めればよいのだから、(sin πt)≧2t と変形して図形的に考察するのが速い。1/2 < t≦1のときも同様。