本年度の問題は、図形問題が多く、小問が一つもないのが特徴。

「大学への数学」における各大問の難易度: B, C, B, B, B, C

解答例

• PRIVATE EYES

第2問

2進法の考え方を利用するという発想は出し易いだろう。これを厳密に証明する為に数学的帰納法を用いる。

第3問

ご丁寧にも、図形と方針を建てやすい座標系が図示されている。このお陰で難易度はかなり下がっていると思われる。

図形的に考察すれば、C円周上の任意の点をP、l上の点をQとすると、AQ ⊥ PQ だと分かるので、ベクトルを導入するのが筋が良い。

第5問

VとSの接点を含む面の断面で考察する。 図形的に考察して相似を利用すると楽。

変数をどう設定するかが鍵となる。最大値を求める問題なので微分をすることになると予想できる。角度θを導入すると、三角関数を含む分数関数を微分することになるだろうが、この場合はかなり煩雑な計算になると予想できるので避けるのが筋が良い。後から有理式に置換することも出来はするが、三角関数は式変形などで記述に時間がかかるのでやはり不利だ。

球の表面積の公式を憶えていないと困る。実はその公式を求めるのは簡単で、球の表面を玉葱の皮に見立てて、体積の公式を半径rで微分するだけ!(円周も円の面積をrで微分すると得られる)

第6問

本年度の最難問。傾斜軸を用いた求積問題。空間認識能力に加えて、そもそも傾斜軸を使うと思いつく必要があるので発想力も要する。本問は大学入試における斜回転体の求積問題の先駆けと言われている。

まず断面積を求める必要があるが、曲面Kの方程式を作り、平面H (y = x +t)を連立すれば簡単。

実は座標軸に垂直な平面での求積も可能。但し、y軸に垂直な平面では円の一部の面積を求める必要があり、うまく行かない。その他は放物線で囲まれる面積を求めるので容易。

小問が17個もある。

「大学への数学」における各大問の難易度: B,B,C,C,C,C

解答例

• ちょぴん先生
• PRIVATE EYES

第1問

直角が含まれる空間図形の問題の解法では、ベクトルが有利。面積公式として「ab sinθ」を使おうとすると、煩雑な2乗の計算が現れるので好ましくない。

四角柱がABCD-EFGHではなくOABC-DEFGと、座標系の導入を示唆しているのが大きなヒント。また、この大問では一貫してtanを用いて表していくという特徴から、図形の中でtanが現れる部分を探すと、AP, CRが見つかり、ここからもベクトルの利用が好ましいと判断できる。問題の性質を吟味するのが大事なのだ。

第3問

(2)

与式は対称性の高い形をしているので、解と係数の関係を利用しよう。

第4問

(2)

「解けない漸化式の極限」問題。極限値は0だから、x_n = rx_n-1 の形に持ち込む為に、与えられた不等式1 +x≦e^xを 1 -qx_n-1≦e^-qx_n-1 とするが、これが難しい。ヒントとなるのがp > qという条件で、これを利用するにはpとqが同次の項の係数であることが必要だ。

発想力が必要な難問。方針だけでも書いておこう。

(3)

中間値の定理に関する問題。(2)より易しいので、(2)が解けなくても解いておこう。

第5問

(2)

(1)が解けなくても解けるボーナス問題。証明問題の次の小問は必ず目を通そう。

(3)

「0≦剰余 < 法」という性質を利用する。

「大学への数学」における各大問の難易度: C,B,C, B,C,C

解答例

• PRIVATE EYES

第1問

東大らしい求積の良問。

(i)

求めたいのはSの輪郭の方程式だから、この曲線上の点を(X, Y)として、点Pとの関係からベクトル方程式を建てよう。そしてその直線がCの円周上を通るという条件を与える。

ちなみにCの円周上の点を(X, Y)と置いてしまうと、結局はX, Yを消去する必要があるので、答えを出せなくもないが厄介な計算になる。目的地を意識して方程式を建てるのが大事だ。

(ii)

空間認識能力が要求される。

(i)が解ければSは円だと分かるので(ii)が解けるのだが、(i)が解けなくてもSの面積をTとでも置いて答えを出しておこう。

第2問

(i)は図形的に考察すれば、f(t) → 0, g(t) → -∞となるのは明らかなので簡単。

(ii)も直観的に1に収束しそうだと感じられる。

第5問

実験をしていく内に状況を把握できるので難解ではないが、P_n(3)は計算が煩雑。

P = 0, 1やn = 1の場合分けも生じる。しかし気付かなくても大した減点にはならないし、細かい事に調子を狂わされるよりは計算を進めていく方が良い。

第6問

各放物線の共有点の個数を考察することで、解の配置の問題に落とし込める。

「D ∩ E ∩ U = ∅」を表すのが難しいところ。部分点狙いで「D ∩ U ≠ ∅, E ∩ U ≠ ∅」だけ図示するという手もある。

1,3,4は易しいが2,5,6は難しい。難易度が明確に分かれている。

「大学への数学」における各大問の難易度: B,C,B,B,C,C

解答例

• ちょぴん先生
• PRIVATE EYES

第2問

発想力を要する確率漸化式の難問。正しい方針さえ建てれば計算は楽だ。

(1)

n番目以降の文字が何であろうと、n番目の文字がAである確率には影響しないので、n番目までの推移に注目すれば良いと分かる。よって漸化式を作るという計画が建つ。

しかしこのままでは、AAが現れる度に、回数と文字の位置がズレてしまい立式しにくい。そこで、(2)の問題文をヒントにして、AAに於ける前後のAを区別しよう。

第4問

(3)

数学的帰納法を使うのが楽。q_nはフィボナッチ数列で、三項間漸化式を解いて一般項を得られる。

第5問

発想力が必要な整数問題の難問。

第6問

ベクトルや相似の手法の運用を試される。方針は建て易いが計算量が非常に多い。(2)と(3)は方針だけ書いて逃げるのもアリだ。

(2)

(1)とよく似た式が与えられているので、それとよく見比べると、h(x)はg(x)の微分刑だと分かる。ただし発想力も必要とされるので、分からないなら「(1)の与式を使って不等式を作り、はさみうちの原理で求める」とだけでも書いておこう。

解答例

• PRIVATE EYES

第1問

1980年度第6問が類題。

AとBを同時に固定してCを動かすと、ACまたはBCがxy = 1の接線になる事から求める方法もある。

第2問

楕円の面積を扱う問題では、円に変換するのが定番だ。

与えられたcos (π/12)の値は、一見すると何に使うのか不明だ。しかしπ/12という情報から、15°刻みの角度が関わってくるのは予想できる。こういう値は計算を進めていけば自然と現れるので、最初に弄り回すのは時間の無駄だ。

第3問

空間認識能力が必要な問題。

(2)

nが単位ベクトルであることと、nとDEの内積が一定であるという条件からyとzの関係式を得られる。求めるのは|y|の範囲ではなく、最大・最小値だから、実数解条件を調べるまでもない。最小値についてはy = 0で成り立つかを調べ、最大値についてはz = 0での値を調べれば完了。

第4問

(1)

a, b, cは独立に動くが、u, vはお互いにaを含んでいるので、独立ではない。

P(u, v)の範囲を求めるという事は、uとｖが同時に値を持つ組み合わせを調べるという事だから、uとvの関係式を作る方法がある。

(2)

(1)の誘導を使わずに、2次方程式の解を求めて、zを最大にするa, b, cの値を代入する方が楽。

第5問

場合分けが煩雑な、確率の難問。

(1, 2)じゃんけんはゲームの勝敗を決める為に行うのだから、勝敗が決まればそれ以降はじゃんけんは行わない。つまり、(1)n < kのときはp = 0, (2)x +y > nのときはp(x, y) = 0となる。これだけ記述して逃げるのも手だ。

(3)この小問が最も易しく、(1)や(2)は誘導になっていない。

第6問

bを求めるのが難しい。(2)では、bが分からなくてもbのままで計算を進めていこう。

発想力を要する問題が多い。

「大学への数学」における各大問の難易度: C,C,C,C,C,C

解答例

• りるらる
• ちょぴん先生
• PRIVATE EYES

第1問

(2)

東大らしい良問で、2変数関数の範囲の求め方が試されている。字数下げを用いることで、煩雑になり易い微分計算を回避する方針で行こう。

基本対称式を利用した置換をするためにbを消去する。そしてa +cを固定するとacの一次関数になる。

第2問

(2)

(1)の与式を活用する。

(2)の与式に級数が含まれているのが最大のヒント。log (m /n) = log m -log n となる事や、最左辺と最右辺が「和の中抜け」で表されている事からも(1)式を足していくのだと分かる。

(2)式の中辺のlogは、(1)の積分関数を解いたものだ。

最左辺の証明で不等式の評価を必要とするのが難所。

ちなみに、(1)だけでなく(2)も図形的考察で解くことも可能。

第3問

確率漸化式の難問。

(1)

P_m(x)と P_m-1(y)では、最初にLに入っているボールの個数が異なっているため、 「m-1回目からm回目への推移」という定石が使えない。

xの値が異なるという事は、初期値が異なる数列を組み合わせて漸化式を作るという事なので、1回目の推移を元に作る。

(2)(3)

「P_nではなくP_2nやP_4nを求めなければならないのだから尚更難しいのだろう」と予想してしまうが、P_2nやP_4n だからこそ漸化式が解ける問題となっている。

りるらるの様に樹形図を描くという解法もある。

第4問

(2)

y₁とy₂を用いよと指示されているので、逆関数を作る。Cの方程式が2次方程式の解に似ている事からも着想できる。

(2)では(1)の結果を用いて図形的な考察をするのだが、ここでもセンスが要求される。

よく練られた問題だ。

第5問

△PQPは二等辺三角形という条件を数式化する。∠POR, ∠QORを一般角で表すのが計算が楽。

整数問題の様に両辺の偶奇の条件でmを絞ると良い。

第6問

ベクトルや相似の手法の運用を試される。方針は建て易いが計算量が非常に多い。(2)と(3)は方針だけ書いて逃げるのもアリだ。

(2)では、0 < t ≦ 2 /9のときは断面が相似の三角形なのでt²に比例するが、2 / 9 < t < 1 では相似ではないので t²に比例しない。