発想力を要する問題が多い。
「大学への数学」における各大問の難易度: C,C,C,C,C,C
解答例
第1問
(2)
東大らしい良問で、2変数関数の範囲の求め方が試されている。字数下げを用いることで、煩雑になり易い微分計算を回避する方針で行こう。
基本対称式を利用した置換をするためにbを消去する。そしてa +cを固定するとacの一次関数になる。
第2問
(2)
(1)の与式を活用する。
(2)の与式に級数が含まれているのが最大のヒント。log (m /n) = log m -log n となる事や、最左辺と最右辺が「和の中抜け」で表されている事からも(1)式を足していくのだと分かる。
(2)式の中辺のlogは、(1)の積分関数を解いたものだ。
最左辺の証明で不等式の評価を必要とするのが難所。
ちなみに、(1)だけでなく(2)も図形的考察で解くことも可能。
第3問
確率漸化式の難問。
(1)
Pm(x)と Pm-1(y)では、最初にLに入っているボールの個数が異なっているため、 「m-1回目からm回目への推移」という定石が使えない。
xの値が異なるという事は、初期値が異なる数列を組み合わせて漸化式を作るという事なので、1回目の推移を元に作る。
(2)(3)
「PnではなくP2nやP4nを求めなければならないのだから尚更難しいのだろう」と予想してしまうが、P2nやP4n だからこそ漸化式が解ける問題となっている。
りるらるの様に樹形図を描くという解法もある。
第4問
(2)
y1とy2を用いよと指示されているので、逆関数を作る。Cの方程式が2次方程式の解に似ている事からも着想できる。
(2)では(1)の結果を用いて図形的な考察をするのだが、ここでもセンスが要求される。
よく練られた問題だ。
第5問
△PQPは二等辺三角形という条件を数式化する。∠POR, ∠QORを一般角で表すのが計算が楽。
整数問題の様に両辺の偶奇の条件でmを絞ると良い。
第6問
ベクトルや相似の手法の運用を試される。方針は建て易いが計算量が非常に多い。(2)と(3)は方針だけ書いて逃げるのもアリだ。
(2)では、0 < t ≦ 2 /9のときは断面が相似の三角形なのでt2に比例するが、2 / 9 < t < 1 では相似ではないので t2に比例しない。