「大学への数学」における各大問の難易度:B,B,B,C,C,C
解答例
第1問
不等式の証明なので、微分の問題だと判断しよう。対数関数に変換してから微分する。対数関数の係数にxが含まれたまま微分すると再び対数関数が現れてしまうので、うまく式変形しよう。
第2問
問題文を読んだだけでは推移をイメージしにくく難しそうだが、1試合目から推移図を書き出してみると、思いのほか単純なパターンだと分かる。(2)で「3m回」という数が示されているのも、3試合で1パターンになっていることを示唆している。
第4問
鋭角三角形の必要十分条件を複素数平面で扱いやすいように数式で表そう。複素数平面は角度を扱いやすいのが特徴なので、「3つの内角が90°未満」を数式化する。
∠C について、公式「(γ -α) /(β -α) = (γ’ -α’) /(β’ -α’) ⇒ △αβγ ∽ △α’β’γ’」を利用すると、(z2 -1) /(z -1) = (z +1 -0) /(1 -0) である事から、「1, z, z2が作る三角形は0, 1, z +1が作る三角形と相似」と言える。この様に置き換える事で計算を楽にできる。
第5問
(1)や(2)は難問で、問題内容の把握からして大変だ。把握が難しいときはK = 1や2で実験してみよう。
(3)は(1)や(2)を誘導にした問題ではなく、無理数が無限小数である事を示す典型問題なので(1)や(2)よりも易しい。
第6問
空間図形の求積問題。この手の問題に慣れてしまえば非常に易しいと感じるようになる。
まずは点Aの動く領域を調べよう。すると円の内部を動くと分かるから、Kはz軸周りの回転体だと分かる。そこでKをxz平面で切断して考察する。