行列が2問出題されたり煩雑な計算問題があるなど出題傾向に不思議な点があった。

「大学への数学」における各大問の難易度: B, C, B, D, B, C

分析: 東進, Z会, 河合塾, KATSUYA

解答例

• ちょぴん先生

第1問

線分の端点の一方は円周上にあるが、与えられた円の方程式を使うと根号が現れるので、微分が大変になる。問題文中で変数θが指定されているのが大きなヒント。東大数学では手始めに図形的考察をして情報を引き出す。本問では円周角の定理が利用できるのでやはりθが適切だと判断できる。

途中計算で3次方程式が現れるが、領域Dが(√2)/3という意味ありげな値で区切られている事から、少し試行錯誤すれば因数分解できると推測できる。

第2問

図形の対称性に着目すると、部屋を3つずつ、3種類に分類できる。そのうち二つはnが奇数の場合のみ到達する。よって偶奇で分けて3部屋のみ考察すればよい。部屋Qに到達する推移を、「部屋P」と「P以外の2部屋」からの到達に分けることで直接漸化式を作れるが、記述が面倒なので寧ろ漸化式を3種類作った方が速い。

第3問

計算が面倒なだけの何とも東大らしくない問題だ。なんの捻りもないので、何か誤解や引っ掛けがあるのではと不安になってしまう。

(1)楕円体の体積は(4π/3) × √2 × (1/4√2)² である。ここから空洞部分を切り抜くという解法があるが、積分区間に根号が出てくるので悪手。

(2)V₂ /V₁ < 1 と仮定して式変形するのが楽。結局√2 < 57/40 を示せばよいことになる。

第4問

(2)が難問。必要条件で絞り込んでいくという流れ。数学的帰納法を用いることを宣言し、n = 2の場合に成立していることだけでも記述すれば部分点が得られるだろう。