第1, 2, 4問は最初から躓きやすく、部分点も取りにくい。本年度の問題は全体的に数学力を測るには不適切だった。
「大学への数学」における各大問の難易度: C, C, C, D, C, D
解答例
第1問
微分を駆使する問題だと思いがちだが、実は平方完成を用いると簡単に解ける。(1)ではf(x)について、(2)ではg'(x)について二つの平方完成項を作る事でそれらが正であることの十分条件を示す。受験生の虚を突く問題だった。
その解法以外に、f(x)やg'(x)が高次方程式であり極小値を持つことに着目して、f'(α) = 0, g”(β) = 0を用いて次数下げをするという解法もある。
いずれにしても受験技巧的な問題だ。
(2)
g(x)が単調増加であることを示せれば、後はg(-1)とg(0)を調べて完了。単調増加を示せなくても g(-1)とg(0)を調べることで部分点を狙おう。
g(-1)は分数の面倒な計算をせずとも、(-1 +1)+(-1/2 +1/6)+(-1/24 +1/120)とすることでg(-1) < 0を示せる。
f(x)とg(x)について x = 1/t と置換すると、マクローリン展開の形になっており、この性質を用いて解くことも出来る。
第2問
(1)が解けなくても(2)が解けるように、(1)の問題文は「a +b = 5/4, ab = 5/16 を示せ」とするべきだった。(1)が解けなければ、(2)では部分点狙いで数学的帰納法を用いることを書いておこう。
(1)解法を暗記するしかない問題。受験技巧的でつまらない。
(2)xとyの対称式は、基本対称式x+y, xyの組み合わせで表せる。
第3問
計算量の多い求積問題だが、誘導が丁寧なので本年度の最易問。
時間の節約の為、図形的考察はしない方が良い。
(1)断面となる円の半径がθで表されており、断面積をθで表す様指示されているので積分する必要がない。この特性に気付くと計算が楽になる。
第4問
問題そのものが難しいというより、文字が多く条件が複雑なので内容の把握が困難。
関数f, gが漸化式になっているので、極限値を得られるように式変形していく。条件「0 < x < 1」は関数が収束する事を示唆するものだ。解けなければ方針だけでも書いておこう。
実はfn(x)の一般項を数学的帰納法で証明できる。それを積分することでも解答できる。数列に関して困ったときは取り敢えず数学的帰納法を試みよう。
この問題は、PRIVATE EYESが指摘しているように答えに対する見解が分かれており、鉄緑会の問題集でもなぜか断りなく問題内容が改変されている。
第5問
(2)「どのカードを引く確率も正である」という条件を見落とすと間違える。虱潰しにEを算出していく場面での計算の負担が大きい。
第6問
x,yの範囲で3×3通りに場合分けするが、同じ操作を繰り返すことになるので、その繰り返しを省くために事前に式変形や代入をしよう。
難問とされるが、場合分けの処理は時間はかかるが易しいので部分点は取り易い。時間が足りなければ方針だけ書いておこう。