分析
解答
[1]
(b)
衝突についての問題なので運動量保存則を利用する。
非弾性衝突でも運動量保存則が成り立つ。それを確認するには、物体の速度が「一方が0」または「正負が逆」のように単純な条件でイメージすると良い。
(c)
力が釣り合っている状態を立式するとθとωを変数とする式になるので、θの範囲に当てはめればよい。
ωに下限があるというのが直観に反するので難しい。円錐振り子の回転を想像すると分かりやすい。
ωが負の値を取ることも可能なので、出題の詰めが甘い。
(d)
「重力加速度gを使わずに」という部分は、(c)が伏線になっている。
(e)
(d)で得た力の式(Fとする)を近似を用いてF = -kx の形に変形していく。具体的な方針としては、Fに含まれる変数はcos θとsin θであるのでこれを一つに纏める。Δθ = θ -θ0 なのでこれを代入して近似を適用しよう。
後は単振動の周期 T = 2π√(m /k)に代入する。周期の式はF = -kxからも再現できる。
(f)
空間的に考察するが、問題文で描かれる状況を丁寧にイメージすれば難しくない。
[2]
(a)
直列コンデンサの合成容量は、バネの直列接続や抵抗の並列接続と同じ式になる。
(b)
板PにはQ個の正電荷があり、板A, Bにペアとなる負電荷が集まってくる。回路がアースされている事でQA +QB = -Q が成り立つ。
電場はE = Q /εS で表される。また、スイッチが閉じているのでキルヒホッフ第2法則が使える。
(c)
電場は正負の電荷のペアがあって生まれるものなので、板Pの電荷もコンデンサの電荷として扱う。
(d)
静電エネルギーの変化量は、xとx +Δxのときの静電エネルギーの差を求めるだけだが、(c)で得た静電エネルギーの式をxで微分してΔx倍するのが速い。力についても静電エネルギーの式をxで微分するだけだ。
微小な項を無視できると指示されている場合は、「微分しても答えが出せる」というメッセージだ。
(e)
x = d /2 は静電気力としては不安定な釣り合いだ。一方でバネにとっては安定な釣り合いだ。つまり、安定な釣り合いが優位となる条件を求める。バネは2個ついているので弾性力は2倍となる。
(f)
(e)の結果は無関係。問題文にあるように、I = dQA /dt を解いていく。
[3]
(a)
音波は疎密波である。最も密なときと疎なときは変位が0なのは憶えておくと得だ。
(e)
「必要ならば近似式を用いよ」と指示されているが、こういうのは無理やりにでも与式を近似式の形が出てくるように変形していく。
(g)
第3問はここまで簡単だったが、これだけ難問だ。しかし(e)(f)の誘導を活かして素直に式変形と近似を使っていけばよいだけだ。