解答例
第1問
bn+1=… の漸化式を(n +1)!で割るという少し珍しい手法を使うが、項を書き出してみるとやるべき操作にすぐに気づけるので易しい大問だ。
第3問
平均値の定理を使うと気付けるか否かに掛かっている。
次のような条件に一致していれば平均値の定理を用いると判断できる。
- 導関数についての不等式が与えられている
- 数列が再帰的な関数によって定義されている
- 不動点がy = x 上にある
a1は正弦定理を用いて求める。n・a1 の極限を求める際は、更にcos (π/n)をsinに置き換える必要がある。ここで注意すべきは、”極限値 -極限値”といった不定形を避けた式変形をする事。
第4問
a2 -aが隣り合う自然数の積である事を利用する。整数問題では与えられた条件の特徴を最大限に引き出して考察するのが大事だ。その点で良問だ。
第5問
問題文が不適切。「1, 2, …, N が書かれたカード」は1枚のカードに1, 2, …, Nが全て書かれているとも読める。「2回目にカードをひく」は2回目のゲームを指していると解釈するのが自然だ。出題者の国語力を疑う。
複数の文字が不等式で表されるので、電数のように格子点に帰着させるのが分かりやすい。
(1)はMath Stationの解答は誤り。
第6問
図形の形をイメージするのは困難なので、数式で機械的に処理していく。 空間図形の積分のお決まりとして、変数の一つを固定して、断面の面積をその変数で積分する。ここでは対称性を考慮してxを固定する。積分区間は面積が正の部分のみに限る。
計算が極めて煩雑で、正答に辿り着くのは困難。