解答例
第1問
本年度の最難問。(2)までは簡単だが(3)は発想力を要する。
(1)
(log x)n = x’・(log x)nとして部分積分すると2項間漸化式が出てくるので番号下げしたものと組み合わせる。(log x)n = (x log x -x)’・(log x)n-1 として積分してもよい。
(3)
与式を見てウォリス積分「n In = (n -1) In-2」を連想すれば筋が良い。a2 = e -2が式中に現れている事からも気づける。ところが持ち合わせている関係式が3項間漸化式だから上手く変形できない。数学的帰納法も使えない。
そこで、不等式の柔軟性を利用して2項間漸化式に作り替えてみよう。
与式は項が偶数である。そこで(1)式an = (n -1) (an-2 -an-1)の an-1を(2)式を利用してan に置き換え、 an < (n -1) (an-2 -an) としてみる。するとウォリス積分と同じ形式になった!
数列の不等式を証明するために、処理し易いように数値や項を入れ替えるのはお馴染みのテクニックだ。
ウォリス積分自体が応用的内容だが、それを知った上で更に応用した問題だった。解けたとしても試行錯誤の末に辿り着くはずなので時間が掛かる。解けないなら(2)の条件を満たしている事だけでも示して部分点を狙おう。
第3問
Cは円ではなく円周なので注意。もしこれが円であれば、体積は積分せずに4πと計算できる。
難易度は標準的で、シンプルな問題設定でありながら置換積分など微積のテクニックを要する東工大らしい問題。
sin θ cos2θは-cos3θ /3と積分できる。
扇形の面積は一般にθが含まれ、これは置換できない。つまり扇形が含まれる求積問題はθで積分する事を予見できる。したがって最初からθで断面積の関数を作れば、置換する手間を省ける。一部の項のみ置換するという方法もある。
第4問
有名問題「閻魔の唇」のアレンジで、線形計画法を盛り込んでいる。