分析
解答
[1]
(a)
最初からイメージし難い問題だが、Aが壁から受ける垂直抗力が減少していき、0になった時に壁から離れる。
(c)
バネ定数はkなのでT = 2π√(m /k)…としたいところだが、バネの両端に錘が付いているので挙動が異なる。重心を基準にすれば両端は同周期の単振動と見做せるので、点Pから見た運動方程式を組み立てる必要がある。
直感的な説明としては、両端に錘があるので弾性力が2倍になると言える。またはバネの中点が実質的なバネの端となるのでバネ定数が2倍になる(直列バネなので”1 /K = 2 /k”が成り立つ)とも言える。
いずれにしても、二つの錘の質量が異なると直感的に答えを出すのは難しいので運動方程式を作れるようになっておこう。
(d)
バネの長さは、初期値 = L –l だったのでLs = L –l となりそうだがそうはならない。t≧0では重心が運動エネルギーを持っているし、二体が単振動するのでバネ定数と振幅が変わっている。これらを考慮すればエネルギー保存則に基づいて解ける。
小問の流れを沿えば、単振動の方程式に特殊解を代入するのが自然な解法。
エネルギー保存則を確認すればミスを防げる問題だった。
[2]
(b)
静電エネルギーを時間微分する事で静電気力を得た。これはF = QE /2 と表される極板間引力である。
(c)
極板には下向きに静電気力と重力が掛かり、上向きに弾性力が掛かる。これらが釣り合う位置が振動中心xcである。振幅はD -xc である。
3種類の力の釣り合いを扱うので、複雑な式になる。
(d)
直列コンデンサの合成容量は、バネの直列接続や抵抗の並列接続と同じ逆数和になる。並列コンデンサの場合は板を繋げ合わせればよい事を考えれば思い出せる。
(f)
(e)で得た式Q = C0V0(1 -3b /2D) はbの部分がtの一次関数である。よってdQ /dt = -3C0V0 /2D・db/dtは、平行線が交互に出現する。
[3]
熱気球が題材だが、2原子分子の内部エネルギー = 5 /2・nRTが当然の様に出てきている。
計算過程で似たような文字が大量に出てくるので慎重に計算する必要がある。しかもpとρが紛らわしいので併用するのは止めるべきだ。
(e)
張力なしで力が釣り合う状態を立式すればよい。使ってよい文字に指定が無いので、T3 = T0(mn +M) /mn のままでも正解とすべきだろう。