解答例
第1問
基本的な問題。3次関数と1次関数が2つの共有点を持つならば、一点は接している。面積計算は1/12公式(ベータ関数の一種)を使うと速い。
第2問
nの数を増やして実験すれば答えが見えてくる。(2)もn = 3の時点で勘づけるので、(1)は無かった方が良かった。
一応は数列の問題である。縦と横の切り方で二種類の漸化式が生まれるので値を比較するのだが、数列で証明するのは非効率。Math Stationの方法が簡潔だ。
第3問
最大の難所は、ベクトルを使って解くと気づく事だ。
ベクトル方程式と一次独立で解くのが一般的だが、P, Qの内分比が分かっているからメネラウスの定理を使うと速い。
3xy -2x -2y +1 = 0というグラフを描くことになるが、これを変形すると9(x -2/3)(y -2/3) = 1となり、x = 2/3, y = 2/3 が漸近線の一次分数関数と分かる。
最後に面積を問うて簡単な積分を盛り込んでいる。
第4問
(1)
Math Stationのように係数を漸化式にして階乗で割って解くのは面白い。
(2)
素直にfn(x)を微分してx = 0を代入すれば良い。