解答例
第1問
(2)
解が一つしかないという事は「nx = xn」となるが、n = 1のときは解が無限にあるので注意。
(3)
解の個数が有限であることの論証は、1997年度第3問と似ている。有限性を示す為に、解が取り得る値に上限がある事を利用する。その準備として解を大きさにより並べ、不等式を作る。
与式右辺を利用すると指数関数となり扱いにくいので左辺を使ってnxnで抑える。一方右辺は xn xn-1 を使って下から抑えることでxn-1≦n を作れる。
第4問
東工大で出題された微分方程式に関する問題の中では最も新しい。
(1)
微分方程式を解く事によってf(x)を求める事が出来るが、題意を示すだけならその必要はないので簡単だ。
問題文が紛らわしいが、「f'(x)が単調増加」も示す必要がある。
(2)
最小値をとるf(t)が4/3かaかで場合分けが必要なのは見落としやすい。グラフの概形を描いておけばミスを防げる。