高校数学 東京大学2019 (平成31・令和元)年度 理系前期入試問題の解説

「大学への数学」における各大問の難易度: B,B,C,C,C,C

大問が易しい順に並んでいる。

解答例

分析

第3問

東進等は難問扱いしているが、空間図形に慣れていれば難しくない。点差がつき易く、合否を分ける問題だ。

(1, 2)

(1)八面体と平面αがどれかを明示しておかないのは減点対象。pの値によって場合分けして図示する必要があるようだが、それならば問題文に明記すべきだ。

(2)△PBC, △PDCの内部をαが通る時に八角形となる。

これらの小問は、(3)を解かせる為の準備に過ぎないので、詳しい記述は必要ないだろう。その代わり、(1)ではpの値で場合分けするといった「忖度」が必要だ。大問が小問に分かれている場合は、(1)だけ読んで解き始めるのではなく、全ての小問を読んで流れを把握するのを習慣づけよう。

(3)

求めるのはpを動かした時の通過領域の面積ではない。ここではpは定数扱いされている。

「座標平面」という表現で困惑するが、要するにyz平面上に切り口の部分を正射影するという意味だ。八面体の辺PB, PCと平面αの交点の座標を求めることになるが、正射影するにはそれらのx座標の情報を無視するだけで良い。

第4問

(1)実験すれば偶奇で分けて調べる方針が建つ。

(2)整数は累乗することで剰余の種類が減るという性質を利用する。

第5問

有理関数と三角関数を含む方程式を扱うが、当然ながら解を得ることは出来ない。こういう場合は図形的な大小関係の考察が重要になる。

(1)

証明問題なので、グラフを描いて示すだけでは不十分。単調性とグラフの位置関係を説明しよう。

(3)

aは何はともあれ、グラフを考察しよう。

cは、極限を取ると(p -p)/(q -q)となる不定形なので微分係数の定義式を使う。a, bが解けなければ「微分係数の定義式を使う」と記述しておこう。

第6問

面倒臭すぎる複素数平面。

(1)

条件2を元に、実数係数の方程式は共役複素数解を持つという性質を利用する。そして条件3を元に、解のパターンを絞り込む。

(3)

図示をするので、x + yiの形を作る為に、αとβの解を求める。

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