本年度は歴史的な高難度。比較的易しい第3問を出来るだけ解けるように、第1, 2問に時間を使い過ぎない様にしよう。
〔1〕
例年の力学問題と比べて誘導が少なく、発想力を要する。
(a)
錘の位置は立方体の位置に従属するので、立方体が持つ変数で表せる。
(b)
わざわざ比の形式で答えさせているのは、T1, T2の具体値を求める必要がない事を示している。ここでは力がテーマなので運動方程式を利用しよう。
「糸に繋がれた物体の運動」という点に着目すると、立方体や壁にとっては錘は同じように円運動をしていると気づける。この対称性を利用すると、壁にとっては T2cosθ -T1cosθ、立方体にとっては慣性力に注意してMa/ 3 -T2cosθ +T1cosθ となり、これらが等しい。
(c)
「弛んでない糸に繋がれた物体の運動」という点に着目すると、壁にとって錘は円運動をしている。つまり、軌道が特定されているので、水平方向の速度が決まれば鉛直方向の速度も確定するのである。これは円運動に限った事ではなく、放物線運動などでも成立する。
円運動に気づけないと詰み。「長さが一定の物が動く」というのが円運動の本質。
(d)
ここでも円運動の束縛条件を利用する。円運動に対するT1の法線方向成分を求めるのも難しい。
(e)
「質量を持つ弛んだ糸」という珍しい設定で、考察が難しい。力が釣り合っているので、とりあえず垂直・水平方向に分解しよう。
各錘が静止しているという事は力が釣り合っているという事だから、各錘を結ぶ糸の水平方向の張力は全て等しい。つまり立方体への水平方向の張力はTだ。糸が張っていなくても、水平方向の張力はどの地点も等しいのである。
また、10個の錘を立方体と壁で平等に支えているので、垂直方向の張力は5mgだ。
(g)
立方体の垂直抗力は、立方体の質量に加えて張力の鉛直方向成分も含まれる。
〔2〕
速度や力の計算に於いて、回転子と絶縁体棒を混同しないように注意。
(a)
誘導起電力は閉回路でなくても生じる。電磁誘導の法則と同じように単位時間あたりの電荷が移動した面積を求めよう。
PQを磁場中を動く導体棒と捉え、V = vBl で求めた方が速い。その際は、PQの中点の速度をvとしよう。
ローレンツ力により電子はP側に集まるので、電場の向きはQ→Pとなる(電場の向きは混乱しやすいが、コンデンサの電場を思い出すと良い)。
これが手回し発電機と同じ役割を果たして、今後の設問に発展していく。
(b)
スイッチを入れた瞬間は、抵抗とコンデンサを含む並列回路におけるコンデンサの電位差が0なので、電流は全てコンデンサ側に流れる。よって回路全体の抵抗はRだ。
充分に時間が経つと、コンデンサは電位差が抵抗の電位差と等しくなり、電流は流れなくなる。よって回路全体の抵抗は2Rだ。
仕事率と消費電力の等価性Fv = V2 /R またはF = IBl で導ける。
(c)
前問が分からなくても感覚で解ける問題。
(e)
回転子が等速円運動する事で交流電源となる。
(f)
IL0 = V0 /ωL, IC0 = V0ωCなので、 IL0 /IC0 = 1 /ω2LC となる。
それぞれの振幅はリアクタンスに比例する。リアクタンスはQ =CVについて微分、V = L dI /dt について積分することで得られる。
(h)
磁場中で導線を動かしても力が生まれないのは不思議だが、これはコイルの逆起電力により電流が打ち消されている為だ。この時に共振回路が生まれる。
vh を求める上では IL0 = V0 /ωL, IC0 = V0ωC を知っている必要があるが、これを忘れていても「IL0 = IC0」は書いておこう。
〔3〕
熱と力学が融合した問題。
(a)
容器A, Bの水面の高さが同じである時、理想気体の圧力はp0である。なぜなら、容器A, Bは細管で繋がれているので液体はパスカルの原理によりどの面に於いても等しくなり、理想気体の圧力と大気圧が間接的に釣り合っていると言えるからだ。
容器Bの高さを変えた場合は水位の差の分の液体の重力を圧力として加算する必要がある。化学で学ぶ水銀柱でも同じ考え方を用いる。
ここで「容器Bの高さを変えると大気圧も変わるのでは?」と思った人は鋭い。大気圧は、高度が高いほど低くなっていくのは知られているが、数メートルの差ではその変化は無視できるほど小さい。したがって大気圧は不変であると近似しているのである。この考え方は重力においても同様である。
(c)
Wa‘は「Wa – (液体の位置エネルギーの増分)」で求めうる。
しかしより簡単に、「大気にした仕事」に着目すると大気圧は常にp0 で、理想気体が大気をΔVだけ押しのけたのだから p0ΔV と求めうる。
(d)
複雑なので図を描いて確認しよう。
(e)
keは、前問が解けなくても「pd = p0と代入してkについて解く」と書こう。Qeは、等圧変化なのでQ = nCpΔT で求められる。
(f)
ここまでの問題が解けなくても答えられる。
- EL: (e)に於いて、加熱しても容器Aの圧力が変わらないという事は、常に大気圧と等しいという事だ。つまり常に容器A, Bの水位は等しい。
- EL +EE: ヒーターが与えた熱量は、「理想気体の内部エネルギーの変化」「大気への仕事」「液体の位置エネルギーの変化」「弾性エネルギーの変化」の4つに変換されたはずだ。しかし、容器A内が圧力p0の定圧変化をしているということは、この実験系を位置エネルギーや弾性エネルギーを無視して「容器Aのピストンが直接に大気を圧力p0で押している」と単純化することができるのだ。
(g)
(d)が解けなくても分かる。
