分析
解答例
第2問
Math Stationが分かりやすい。樹形図でフローを確認すると、単純な反復があるのでこれをnを含む指数関数とする。最後に、同色となるフローの確率を掛ける。(1)ではn が奇数のとき、(2)では偶数のときに確率0になるのは最低でも記述しよう。
第3問
G1G2の距離も(1)の考察から得られる。
回転体の両端の円の半径が1 /√3 になるのは分かるが、その間の半径が複雑で一次関数的な単純な変化ではない。複雑な図形の回転体の半径を定める上でベクトルを使うのはお決まりだ。
Math Stationの様に媒介変数を使って体積を求めて幅を補正するのは計算は楽だがミスしやすい。東進のようにz座標に変換して計算する方が考慮すべき事が少ない。ちなみに、媒介変数の値域は1だが正八面体の一辺の長さも1なので、斜回転体のようにスケール変換は不要。
第5問
(1)「全ての整数mについて成り立つ」ことを証明せよという問題なので、数学的帰納法を使おう。
(2)十分条件は(1)で示された。必要条件は、「nが27の倍数以外なら成り立たない」と言い換えれる。Math Station の証明が分かりやすい。
第6問
レムニスケートのような媒介変数表示の曲線の面積を求める。増減表やグラフを描くことは求められてないので、時間を節約するために手抜くのがコツ。面積を求めるだけなら、”x座標が折り返す点”と”自己交差点”を把握すれば十分。
同じ積分関数を区間を変えて繰り返し算出するが、Math Stationのように積分区間を反転させる事で[0, π] +[2π, π]に纏めれる。尤も、グラフの概形からこれは必然的であり、時短の為に直接こうやって算出できるようになっておこう。