解答例
第1問
n!を素因数分解した時に2の個数が5の個数より多くなることは記述した方が良い。
(2)は、解答例ではガウス記号と挟み撃ちの原理を用いた方法が紹介されている。挟み撃ちの原理を使わない方法として、1～10nの数のうち、5の倍数、52の倍数…5nの倍数を数えて等比級数を作るというものがある。
簡単な問題だった。
第2問
空間ベクトル分野の問題だが、ベクトルは利用する必要がない。
空間における平面πの方程式を作る。接線lの方程式はxyz空間上では「z軸に平行な平面」であるので、この方程式に+azの項を追加する事で傾きを与える。(1/2, 1, 1)を通るという情報を加えれば平面の方程式が確定する。
楕円は媒介変数表示にした方が、θの範囲からkの範囲を決められるので分かりやすい。
第3問
二つの円錐と球の体積を求めて足すという方針はすぐに見える。試されているのは計算の効率性だ。
Math Station のように、三つの数式は展開せずに保持して最後に足し合わせると上手く相殺する。展開してしまうと10分以上失うだろう。体積を分割して計算した後に足し合わせる場合はこのようなテクニックが使える場合がある。
第4問
(1)
一般に「増加」といった場合は広義単調増加「f'(x)≧0」を意味する。狭義単調増加「f'(x) > 0」として解いた場合は減点されるかも。
(2)
この問題のポイントは逆関数の意味を正しく理解しているかという所だろう。逆関数と言っても、ここではxとyが入れ替わってないのでグラフはy = f(x)と同じだ。
逆関数はxとyについて置換するのが基本。f(x) = bは一瞥すると解けなさそうだが、xとして簡単な整数を代入してみるとx = 1で解けると分かる。
面積を定数とするa, bの関数と(1)で得たグラフを見比べれば、両者が接するときに最小値を取ると分かるので、判別式 = 0の解が答えだ。(1)が無ければ難問だった。
第5問
情報を整理すると、サイコロの出目は63通りあって、方程式の解はそれぞれに最大で3個ある。
偶数次数の項が負である理由を考えると、x≦0 ならば方程式は成り立たないので、x > 0であると分かる。要するにa, b, c, xが全て自然数となる組み合わせを探すわけだから、不定方程式の問題なのだ。ここまで整理した情報を記述するだけでも部分点が得られるだろう。
不定方程式なのを意識してx(x2 -ax +b) = cと変形すると、解はcの約数だと分かる。よってc = 1～6で場合分けする。
確率と見せかけて整数の問題だった。不定方程式として扱うという発想が必要だが、サイコロの出目や方程式の解が整数である点から気付ける。