三角形の性質

常に三角形の内側にある	内心, 重心
鋭角三角形の場合、三角形の内側にある	外心, 垂心
直角三角形の場合、直角を持つ頂点にある	垂心
直角三角形の場合、最長の辺の中点にある	外心
鈍角三角形の場合、三角形の外側にある	外心, 垂心
常に三角形の外側にある	傍心

三角関数

余弦定理は、式が少し複雑で憶えにくい。そんな時は、cosに入る角度を切りのいい値にしてみると良い。

• cos90°だと、直角三角形なので式はa²=b²+c²というピタゴラスの定理になる。
• cos0°だと、a²=b²+c²-2bc=(b-c)²となる。これは、角度が0°になって完全に潰れてaがbとcの差に等しくなったことを指す。
• cos180°だと、a²=b²+c²+2bc=(b+c)² となり、逆に角度が180°となり潰れてaがbとcの和に等しくなったことを指す。

数列

等差数列と等比数列の一般項はよく似ていて、それぞれ「初項」「公差(公比)」「n-1」の三つで構成されている。

• 等差数列の一般項: a + (n-1) * d
• 等比数列の一般項: a * r^n-1

	初項と公差(公比)の関係	公差(公比)とn-1の関係
等差数列	和	積
等比数列	積	べき乗

解と係数の関係

二次関数

• α+β = −b/a
• αβ = c/a

三次関数

• α+β+γ = −b/a
• αβ+βγ+γα = c/a
• αβγ = −d/a

法則

• 左辺の次数が偶数の場合は右辺は正数、奇数の場合は負数となる。
• 「左辺の次数」と「右辺の分子が対応するxの次数」の和は、その関数の最大次数に等しい。(二次関数では2、三次関数では3)

極線の方程式

「極線の方程式」の特殊形が「円の接線の方程式」である。円の外側にある点Aを円周上に持ってくると二本の接線P, Qが一つになり極線=接線になる。

式と曲線(数Ⅲ)

• 楕円の方程式: x²/ a² + y²/ (a² -c² ) = 1
• 双曲線の方程式: x²/ a² – y²/ (c² -a² ) = 1

楕円と双曲線は、楕円方程式を例にすれば、cの値がaを超えるか否かの違いだけで本質的には同じものだ。