解答例
第1問
「空集合になる場合の数」と「f(n, k) = f(n, 1)を満たすn, k」の2つを答える必要があるが、小問に分けるべきだろう。前者を解答するだけでも10点得られるだろう。
第2問
頂点A1を固定することで場合の数が1/6に激減し、数え上げも可能になる。
第3問
点P(a, b)、点R(a, t2)とする。
法線の傾きは-1 /2tだ。ここで、PQに根号が含まれているという不自然な特徴に着目すると、直角三角形PQRの三角比から、b = yが簡単に導ける。
面積は、Cがxの関数、C’がyの関数となっているので、y = xで分割するのが良い。
第4問
明らかに図形的対称性のある問題なので、まずは図形的に考察していこう。平面z = tで考察すると、点A, B, Cを頂点とする円錐の断面がそれぞれ現れる。
点Pはxz平面上で動くのは明白だから、この平面上で条件(ロ,ハ)に基づく軌跡1と条件(ニ)に基づく軌跡2を調べよう。軌跡1は、円錐を母線に平行でない断面で切断しているので双曲線になる。結局は共有点の個数の問題に帰結する。
第6問
(1)条件から、f(x)とy = 1 -|x|がx = ±1で共有点を持つと分かる。故に両式を連立した際に(x ±1)で割ることができるので、字数下げが出来る。
(2)積分関数は(1)が解けなくても容易く解ける。