解答例

• Math Station

第1問

(1)Math Stationの解法以外に、相加相乗平均を利用する解法もある。与式を変形して1/|m₂n₁ -m₁n₂|≦m₁ /2m₂ +m₂ /2m₁ とする。相加相乗平均により1≦(右辺)なので、(左辺)≦1を示せば良い。これを変形した不等式1≦|m₂n₁ -m₁n₂|について、(m₁, m₂)と(n₁, n₂)はいずれも互いに素だから正しい。

(2)は、nを偶奇で場合分けして極限計算するだけのとても易しい問題。(1)の方が難しい。

第2問

通過領域の典型問題。tの方程式に変形して、放物線の軸t = yを動かして実数解条件を求める。

図は大きめに描かないと、円と放物線の間の部分が細かくて図示しにくい。

第4問

F’ はcos 3θの関数で表されるが、cos 3θ のまま増減表を書くとcos 3θ = -1のときに極大であると勘違いする。θが0→π/2と動くとき、cos 3θ は1→-1→0と動くからだ。単調関数であるかの確認の重要性を気づかせてくれる。

第5問

面積は全体を積分で求めるのではなく、双曲線が関わる1≦x≦3tの部分のみ積分して残りは三角形または台形の面積公式を使った方が楽だ。