分析

• 東進

解答例

• りるらる
• 東進
• Math Station

第3問

(2)

tanの3倍角を使うのが珍しい。

「どのようなθに対しても～」という条件は、「全てのθで方程式が成立する」という意味だ。ここではθとpのみで方程式を作るのは困難なので、tan (θ /3) = -1 /α と(1)で得た式を利用して、αとpのみの方程式 を作り評価する。pの値を求めれば、自動的に条件を満たす点Pが存在する事を示したことになる。

第4問

(3)は(2)が解けなくても、「無数に存在する」という証明以外の答えは書ける。

第5問

(2)

式の形を見ると区分求積法を使いたくなるが、a_nやb_nの一般項を作るのは難しそうだ。そこで(1)がヒントであると考え、不等式で評価してみよう。”a₁ +a₂ +… a_n“を直接計算する事は出来ないが、”1/1 +1/2 + …+1/n”なら区分求積法を使える。

(3)

様々な解法が考えられるが、b_n の漸化式にa_n が含まれることに着目したMath Stationの解法が自然だ。こうする事で(2)の結果を利用できる。

第6問

(1)「実数全体を定義域とする」事を示すので、x→∞とした時にf(x) = ∞となる事も示す必要がある。

(2)逆関数の積分を知っていれば難しくないが、f(x)の積分区間を特定した後も置換積分、分数関数の積分など作業は多い。