解答例
第1問
(1)
頻出の絶対値付き積分。積分区間に文字が使われているが、(1)では「aを固定する」とされているので、定数とみなして、いつも通りに解いていく。この手の最大最小問題はほぼ確実に微分を使う。
(2)
指数関数の微分の定義を使って解く極限だが、少し気づきにくくしてある。「指数関数と多項式の商」という形から気づけるようになろう。
第2問
通過領域の問題。
z≦0については、半径aの半球になるのはすぐ分かる。考えることになるのはz < 0についてであるが、xz平面の第一象限だけ図形を考えてz軸で回転させればいい。
z < 0について、1秒間のうちt秒間はx軸上を進むとして立式していく。範囲に注意したり、方程式の解釈するのが難しい。 初めから通過領域がどんな形になるか予想しておいて、方程式と擦り合わせる手法が有効だろう。
領域の特定方法は幾つかある。直線部分は包絡線なので、z2 について解いた式をtについて平方完成したり、tについて偏微分する事でも求まる。
原点を中心とし半径1の円の接線は、接点が(a, 0)ならばx軸との交点は(1 /a, 0)である。これはマイナーな知識だが知っておくと便利。
第3問
(1), (2)は簡単。(3)は難問だ。(1)の実験結果により、求めたい式は見えている。
出たカードの番号は色々だが、合計は常にkであるという性質から、重複組み合わせ(仕切り法)を採用しよう。仕切りは隣り合う事もあるので、カード番号を1以上ではなく0以上に調整する。それにより合計値はkからk -jとなる。更に、答えの式はn乗の形になっている事から、二項定理を使うと予想できる。そこで二項定理が使えるように、Σ式を変形していこう。
Math Station の別解のように数学的帰納法を使う手もあるが、これも結構ややこしい。
第4問
2017年度・第3問の類題。方針の立て方と計算力が試される。
三平方の定理を使うと計算が煩雑になりがちなので、三角関数を活用する。
この問題はたけしのコマ大数学科でも出題されたそうで、相加相乗平均を使うエレガントな解法が紹介された。
面積について関数を作り、微分で極小値を出す。この方針を詳しく書くだけでも部分点が得られる。計算が長大なので、方針点だけ食い逃げするのも手だ。
答えの形は、「正八角形の半分」である。言い換えると、はみ出した直角三角形がすべて合同な二等辺三角形である。これは容易に予想できるので、解けなくても答えだけ書いておくと部分点が得られるかも。