全体的には易しい。

解答例

• Math Station

第1問

これは有名な問題で、スタディサプリでも題材になっている。

a₁とa₂を調べることで答えが7であると予想できる。整数や数列の問題は実験してみることが大事だ。

第3問

本年度の最難問。2つの面積の比 k が一定であることを立式した後にどう変形するかでセンスが問われる。

①式の左辺は原始関数Fを用いてF(x) -F(a)と表せる。そして右辺に含まれている”x-a”に着目して、微分係数の形に変形する。ここでx→a とするとk = 1が必要条件だと分かるので、十分性も示せば完了。f(x) = -x -2 が解であることは容易に予想できるので、その結論に議論を誘導していくわけだ。

別解

f(x)がどんな関数であっても、x→0 やa→1とした場合に明らかにk = 1しか成り立たない。ということはk = 1を満たすf(x)が唯一の解だ。よって f(x) = -x -2 である。

これは少し論証が甘いが、部分点は得られるだろう。

第5問

アステロイド曲線のような曲線で作られる領域の面積。ベータ関数に似た結果が得られる。最も難しい小問は(2)であり、(3)は(2)が解けなくてもその結果を利用して解ける。

(2)

まずyについて解いて積分する方針は(1)と同じだが、t = -x^1/m+1 と置換する。このtの式をそのまま両辺微分するとxの式が残ってうまく行かないので、xで解き直してから両辺を微分する。