分析
解答例
第1問
(1)
二次方程式の虚数解は、解の公式から見えるように、複素数平面上において実軸対称である。4点は等脚台形になるので、「対角の和がπ」という共円条件を満たす。
中心は、複素数平面を活かして|α -z| = |β -z| ⇔ (α -z)(α –z) = (β -z)(β –z) とし、解と係数の関係で解くのが王道だろう。xy平面上の図形と考えて三平方の定理を使っても良いが、元は複素数なのでy座標の根号内の符号が変わることに注意。
(2)
「同一円周上」という条件を表す為のa, b, cの値の比較で、それぞれの解答例が異なっている。東進とパスナビは、a, b, cのうち二つが同じでも構わないとしている。Math Stationはa≠b, b≠c, c≠aとしている。私は前者が正しいと思う。ちなみに、”a≠b≠c”は”a≠b, b≠c, c≠a”と同値ではないので使ってはいけない。
さらに、東進はbの範囲の指定も不要としている。おそらくこれが完璧な解答だろうが、そこまでの答えは要求されていないだろう。
ある2点が「同一直線上にあること」は「同一円周上にあること」の必要十分条件と言えると私は思うのだが、数学的には違うようだ。
第2問
(1)
a, bが互いに素であればax +by はどんな整数にもなり得るという性質を利用する。
(2)
二元一次不定方程式はセンターでも頻出で、1変数に置き換えるのが定番。これは三元なので2変数で置き換える。二元不定方程式でやる操作を二周すればよい。
(1)で得た特殊解のzを固定してはいけない。なぜなら35x +91y +65z = 3は図形的にはxyz空間上で傾いた平面だから、zを固定するとx, yの選択肢を狭めてしまうからだ。
第3問
(2)
与式に三角関数が含まれている為、anは解けない。そこで挟み撃ちの原理で評価する。nの値を大きくしていったときに、どの範囲で動いているかを見定めて挟む。nを偶奇で検証するのが面倒なところ。
挟み撃ちの原理を使わず、n→∞においてa2m +a2m+1 が2(2πm +π/2)に限りなく近づくことを利用する裏技もある。
第4問
今年度の最難問。後期1998年度第2問が類題。
(1)空間的、平面的に図を描いて考察すれば分かりやすい。
(2)回転体の体積を求めるから断面積の関数が欲しいが、そこで(1)が役立つ。半径の考察が難しく、回転体がx = ±2の制限を受けるという事は直観的に分かるが、そこを考慮するだけでは不十分。方針だけ詳述して逃げるというのも手だ。
第5問
指示に忠実になればよい問題だった。
(1)点Xはnが偶数の時のみA, B, C, Dに存在するという事を見抜くのが大事。
(2)nを用いて表せと指示されているので一般項を求めると分かる。4種の数列を組み合わせる必要があり面倒くさそうだが、纏めると単純な等比数列に帰着し、これが(3)を解く上での重要な性質となっている。
(3)(2)のヒントを汲み取れたかどうか。(2)と同じ要領で、項の符号を変えたものを使って一般項を作るとどれも単純な等比数列だ。勘が良ければサイコロの高い対称性から気づけるかも。 そして連立してanを導く。