分析
解答例
第1問
(1)
指数部をnとして数学的帰納法を用いるのが典型的解法。
実はもっと楽な方法がある。αn +βn -3n = αn +βn -(α +β)n として、(α +β)n を二項定理で展開したものを代入すると各項がαβ = 5の倍数になるのだ。
(2)
パスナビの解答が分かりやすい。
「4個が全て異なる目の場合」×「残り2個がすでに出た目の場合」で計算すると重複が出て上手くいかない。
数え上げでは、「サイコロをグループ分けして順に場合の数を確定して積算する戦法」と「出目が同様に確からしいという性質を利用した特殊(具体)化→一般化戦法」がある。
4個のサイコロの出目が全て異なるような目の組み合わせは6C4 = 15通りなので、この4個のサイコロの出目が1, 2, 3, 4だったと決め打ちして後から15を掛ける。
3個が同じ目になる6個のサイコロの出目の場合(A)と同じ目の2個が2種類になる6個のサイコロの出目の場合(B)は独立事象であるのでそれぞれを足せば求めたい場合の数を得られる。
(A)「3個が同じ目になる場合」を求めて、残りのサイコロの出目の場合を順列で求めて積とする。もしくは、同じ目になる3個の出目が1と決め打ちして、6個の並べ替えを考える。
(B)同じ目となっている2個×2のサイコロにおいて目が1, 2であると決め打ちして、後から4C2 = 6を掛ける。 そして6個の並べ替えを考える…もしくは 1の目が出るサイコロのパターンを確定して、次に2の目が出るサイコロのパターンを確定し、最後に残りの目の並べ替えをする。
第3問
かなりの難問と言われているが、単純な関数が題材なのでグラフが予想しやすく、道筋も一直線なので実は簡単だ。増減の厳密な評価に拘らず答えを書けば大きな得点が得られるだろう。
f‘(x) の増減は指数関数だから分かり難いので、e(ex -1 -xe -1)としてカッコ内の各項の対数を取った関数を評価するという手法がある。もっと自然なのは ex(1 -e1 -x xe -1)としてカッコ内を微分する。
第4問
私はこれが今年度最大の難問だと思う。不等式を単位円で処理するという方法の着想が必要だ。sin(4nx)≧sin x は加法定理を駆使してもnが含まれているので纏まらないのだ。
求めたいのは三角関数の値ではなくxの値(つまり角度)なので、グラフ(直交座標系)より単位円(極座標系)の方が相性がいい。 加えて、nをどれだけ大きくしても-1≦sin(4nx)≦1であり、特にxが定義域の最大値なら常にsin(4nx) = 0という点に着目すると単位円で考えるのが筋が良いと分かる。
その後の立式も慎重にする必要があるので経験が無いと難しい。nが1増すと4nxは単位円を一周するので、xの区間が一つ増えると分かる(グラフからも読み取れる)。
方針が立たなくても、n = 3くらいの時の図を描くとS = π /8に収束しそうな雰囲気があるので、予想だけでも書いておけば5点くらいは得られるかも。
第5問
(1)
楕円の横半径は1で定まっているので、縦半径を想像でビヨーンと伸縮させてみると、縦半径がある値以上になると接点が(1, 0)になるのが分かる。イメージしないと気づかずa = b√(1 -b2)だけ書いてしまうだろう。
この場合分けの計算が繊細なので避けたい。グラフでa = 1 /2となる条件を概説して、共有点が一つになる条件式を立てれば楽になりそうだ…満点が得られるかは分からないが。
(3)
p = 1 /√2 なので、楕円を半径1の円に戻したときにOPの偏角はπ /4になるのを利用すると積分計算が不要になり劇的に速くなる。
最後の√13 /12 -2 /27 の計算が面倒だが、模範解答によると計算せずそのままでも良い。