2001
第1問
三角関数の周期性と、正接関数が-π/2 < θ < π/2 で単調増加である性質を背景とした問題。その背景を見抜いて前述の不等式の形を作ることが必要で、それに気付かず試行錯誤しても時間の無駄となる。
第2問
この手の問題で三平方の定理を使って計算したら負けだ。(1)では直交条件をベクトルで計算する。(2)はA0B0とx軸が垂直なのが分かったので図形的に考察して正弦定理を使う。
2002
第1問
(2)が難しい。
まず、(1)で得た等式を積分するという事に気づく必要がある。(2)の不等式で分母に”2k +1″が含まれるという事はx2k が積分された事の痕跡だ。
更に右辺を不等式で置き換える。分数関数の積分は困難なので置き換えられるように問題が作られていることは多い。
第2問
三角関数の微分は複雑になるので置換する。
2003
第1問
2004
どちらの大問も発想力が必要。
第1問
「モンモールの問題」として有名。解法を知ってないと自力で思い付くのは難しい。
第2問
(2)
C1とC2を連立して対数を取ると文字が対称的な式が出来る。この対称性に着目して、xの関数とnの関数を分離するとよい。この後は「eπとπeの大小比較」という有名問題と同じ解法を用いる。
(3)
(2)と同じようにxとnの関数を分離して極限を取れば、(log x) / x = 0 が必要だと分かる。
但し、対数を取る操作によりx座標の範囲が正のみに限定されてしまったので、C2をy軸対称な図形に置き換える事が必要。ここでセンスが問われる。
2005
第1問
(1)
0 < r < 1 のときのlim (n→∞) nrn が0に収束することを証明するには、二項定理の「指数関数を多項式で近似できる」という性質を用いる。n2rnは項数を増やして近似の精度を上げればよい。
これは知っていないと思いつかないだろう。(2)より正解率は低そう。
(2)
(1)では”0 < r < 1″の条件が与えられているので紛らわしいが、rの値で場合分けが必要。
第2問
(1)
多変数関数の最小値を求める問題なので、平方完成や加法定理を用いて最小値となる条件を求める。
まともに論証しようとすると大変だが、AとBの半径が等しいときに面積最小となるのは容易に予想が付く。なので答えだけでも書いておこう。
(2)
微分をしたら沼に嵌る。分母と分子のどちらかを定数にするテクニックを使おう。