微積を用いる第4, 5問は易しい。
解答例
第1問
整数の難問。昔の東工大は整数問題をよく出題していたが、これは特に難しい。もう少し誘導を付けても良かったと思う。
(2)
まずは、”素数の整数乗” = a3 +b3 = cd に気づかなれば何も始まらない。そして、様々な必要条件で絞り込んでいく。
まずは(1)で与えられている不等式を弄らずにそのまま当てはめよう。
次に”解と係数の関係”を用いるが、これは思いつきにくい。「(a, b)の組み合わせを求める」というゴールを常に意識しておけば思いつきやすいかな。
ところで、整数問題では実験が大事だ。a, bに小さい数を当てはめて実験しているうちに、解の一部である(a, b) = (2m-1, 2m-1)に気付ける。十分性を示すことで部分点を得られるだろう。
第2問
与えられた条件を、x, y ,z≦n/2 に変換するのがポイント。x, y, zにはこの上限が与えられているので、その範囲で数値を動かしてカウントしていく。
第3問
双曲線の接線に関する有名性質が題材。面積はサラスの公式を用いる。